Congruences dans ℤ

🟠 Difficile

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1
On s'intéresse aux puissances de 2 modulo 9.
a) Calcule les restes de $2^{n}$ modulo 9 pour $n$ allant de 1 à 7. Que constates-tu ?
b) Déduis-en le reste de $2^{100}$ modulo 9.
c) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $2^{n} \equiv 1 [9]$ ?
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a) On calcule de proche en proche, en réduisant à chaque étape.
$2^{1} \equiv 2$ , $2^{2} \equiv 4$ , $2^{3} \equiv 8$ .
$2^{4} = 2 \times 8 = 16 \equiv 7 [9]$ .
$2^{5} \equiv 2 \times 7 = 14 \equiv 5 [9]$ .
$2^{6} \equiv 2 \times 5 = 10 \equiv 1 [9]$ .
$2^{7} \equiv 2 \times 1 = 2 [9]$ : on retrouve le reste de $2^{1}$ .
Les restes se répètent donc avec une période de 6 : 2, 4, 8, 7, 5, 1, puis on recommence.

b) Comme $2^{6} \equiv 1 [9]$ , seul compte le reste de 100 dans la division par 6.
$100 = 6 \times 16 + 4$ .
$2^{100} = \left(2^{6}\right)^{16} \times 2^{4} \equiv 1^{16} \times 7 \equiv 7 [9]$ .
Le reste est 7.

c) D'après le cycle, $2^{n} \equiv 1 [9]$ exactement quand $n$ est un multiple de 6.
En effet, si $n = 6k$ alors $2^{n} = \left(2^{6}\right)^{k} \equiv 1$ ; et si $n$ n'est pas multiple de 6, le reste vaut 2, 4, 8, 7 ou 5, jamais 1.
2
a) Montre que $10 \equiv 1 [9]$ , puis que $10^{k} \equiv 1 [9]$ pour tout entier naturel $k$ .
b) Déduis-en le critère de divisibilité par 9.
c) Applique-le à 4 725 et à 12 346, en précisant le reste dans chaque cas.
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a) $10 - 1 = 9$ , qui est divisible par 9 : donc $10 \equiv 1 [9]$ .
La congruence est compatible avec les puissances : si $a \equiv b [n]$ alors $a^{k} \equiv b^{k} [n]$ .
Donc $10^{k} \equiv 1^{k} = 1 [9]$ , pour tout entier naturel $k$ .

b) Un entier s'écrit $N = a_{p}10^{p} + \dots + a_{1}10^{1} + a_{0}$ , où les $a_{i}$ sont ses chiffres.
En réduisant modulo 9, chaque $10^{k}$ est remplacé par 1 :
$N \equiv a_{p} + \dots + a_{1} + a_{0} [9]$ .
Autrement dit, N et la somme de ses chiffres ont le MÊME reste modulo 9.
En particulier, N est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.

c) Pour 4 725 : $4 + 7 + 2 + 5 = 18$ , et $18 \equiv 0 [9]$ .
Donc 4 725 est divisible par 9 (en effet $4\,725 = 9 \times 525$ ), le reste est 0.
Pour 12 346 : $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$ , et $16 = 9 + 7 \equiv 7 [9]$ .
Le reste de 12 346 par 9 est 7 : ce nombre n'est pas divisible par 9.
3
On cherche le chiffre des unités de $7^{2025}$ .
a) Explique pourquoi le chiffre des unités d'un entier est son reste modulo 10.
b) Détermine le cycle des restes de $7^{n}$ modulo 10.
c) Conclus.
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4
On pose $n = 3^{2024}$ .
a) Détermine le reste de $n$ modulo 5.
b) Détermine le reste de $n$ modulo 4.
c) Déduis-en le reste de $n$ modulo 20, en justifiant le passage de a) et b) à la conclusion.
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5
a) Résous dans $\mathbb{Z}$ la congruence $3x \equiv 1 [7]$ .
b) Déduis-en l'ensemble des solutions de $3x \equiv 5 [7]$ .
c) Pourquoi la congruence $3x \equiv 1 [6]$ n'a-t-elle, elle, aucune solution ?
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6
a) Montre que pour tout entier $n$ , $n^{2} \equiv 0$ ou $1 [4]$ .
b) Déduis-en qu'un entier de la forme $4k + 3$ n'est jamais la somme de deux carrés.
c) Applique ce résultat à 2 023 : est-il somme de deux carrés ?
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7
a) Énonce le petit théorème de Fermat.
b) Vérifie-le sur l'exemple $a = 2$ et $p = 11$ , en calculant $2^{10}$ modulo 11.
c) Déduis-en le reste de $2^{2025}$ modulo 11.
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8
Aujourd'hui est un mardi.
a) Quel jour sera-t-il dans 500 jours ?
b) Quel jour était-ce il y a 500 jours ?
c) Dans combien de jours, au minimum, sera-t-on de nouveau un mardi 500 jours plus tard aussi ?
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9
On s'intéresse aux puissances de 5 modulo 7.
a) Calcule les restes de $5^{n}$ modulo 7 pour $n$ de 1 à 6. Que constates-tu ?
b) Déduis-en le reste de $5^{2\,024}$ modulo 7.
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10
Soit $n$ un entier relatif.
a) Détermine les restes possibles de $n^{2}$ modulo 4.
b) En déduire qu'un nombre de la forme $4k + 3$ n'est jamais un carré parfait.
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