Congruences dans ℤ

🟠 Difficile

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1
On s'intéresse aux puissances de 5 modulo 7.
a) Calcule les restes de $5^{n}$ modulo 7 pour $n$ de 1 à 6. Que constates-tu ?
b) Déduis-en le reste de $5^{2\,024}$ modulo 7.
Voir le corrigéoffert
a) $5^{1} \equiv 5$ ; $5^{2} = 25 \equiv 4$ ; $5^{3} \equiv 20 \equiv 6$ .
$5^{4} \equiv 30 \equiv 2$ ; $5^{5} \equiv 10 \equiv 3$ ; $5^{6} \equiv 15 \equiv 1 \pmod 7$ .
Les restes se répètent ensuite : la période vaut 6.

b) $2\,024 = 6 \times 337 + 2$ .
$5^{2\,024} = (5^{6})^{337} \times 5^{2} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod 7$ .
Le reste vaut 4.
2
Soit $n$ un entier relatif.
a) Détermine les restes possibles de $n^{2}$ modulo 4.
b) En déduire qu'un nombre de la forme $4k + 3$ n'est jamais un carré parfait.
Voir le corrigéoffert
a) Tout entier est congru à 0, 1, 2 ou 3 modulo 4.
Si $n \equiv 0$ : $n^{2} \equiv 0$ . Si $n \equiv 1$ : $n^{2} \equiv 1$ .
Si $n \equiv 2$ : $n^{2} \equiv 4 \equiv 0$ . Si $n \equiv 3$ : $n^{2} \equiv 9 \equiv 1$ .
Les seuls restes possibles sont donc 0 et 1.

b) Un nombre de la forme $4k + 3$ est congru à 3 modulo 4.
Or 3 ne figure pas parmi les restes possibles d'un carré.
Un tel nombre n'est donc jamais un carré parfait.
Exemple : 2 023 est de la forme $4 \times 505 + 3$ , ce n'est pas un carré.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Aujourd'hui est un mardi.
a) Quel jour sera-t-il dans 500 jours ?
b) Quel jour était-ce il y a 500 jours ?
c) Dans combien de jours, au minimum, sera-t-on de nouveau un mardi ? Le jour situé 500 jours après ce nouveau mardi sera-t-il encore un vendredi ?
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4
On cherche le chiffre des unités de $7^{2025}$ .
a) Explique pourquoi le chiffre des unités d'un entier est son reste modulo 10.
b) Détermine le cycle des restes de $7^{n}$ modulo 10.
c) Conclus.
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5
a) Énonce le petit théorème de Fermat.
b) Vérifie-le sur l'exemple $a = 2$ et $p = 11$ , en calculant $2^{10}$ modulo 11.
c) Déduis-en le reste de $2^{2025}$ modulo 11.
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6
a) Résous dans $\mathbb{Z}$ la congruence $3x \equiv 1 [7]$ .
b) Déduis-en l'ensemble des solutions de $3x \equiv 5 [7]$ .
c) Pourquoi la congruence $3x \equiv 1 [6]$ n'a-t-elle, elle, aucune solution ?
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7
On pose $n = 3^{2024}$ .
a) Détermine le reste de $n$ modulo 5.
b) Détermine le reste de $n$ modulo 4.
c) Déduis-en le reste de $n$ modulo 20, en justifiant le passage de a) et b) à la conclusion.
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8
a) Montre que pour tout entier $n$ , $n^{2} \equiv 0$ ou $1 [4]$ .
b) Déduis-en qu'un entier de la forme $4k + 3$ n'est jamais la somme de deux carrés.
c) Applique ce résultat à 2 023 : est-il somme de deux carrés ?
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9
On s'intéresse aux puissances de 2 modulo 9.
a) Calcule les restes de $2^{n}$ modulo 9 pour $n$ allant de 1 à 7. Que constates-tu ?
b) Déduis-en le reste de $2^{100}$ modulo 9.
c) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $2^{n} \equiv 1 [9]$ ?
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10
a) Montre que $10 \equiv 1 [9]$ , puis que $10^{k} \equiv 1 [9]$ pour tout entier naturel $k$ .
b) Déduis-en le critère de divisibilité par 9.
c) Applique-le à 4 725 et à 12 346, en précisant le reste dans chaque cas.
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