Congruences dans ℤ

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1
Détermine le reste de la division euclidienne de $2 026^{2026}$ par 7.
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Il faut réduire DEUX choses : la base, puis l'exposant.

Étape 1, réduire la base modulo 7.
$7 \times 289 = 2 023$ , donc $2 026 = 7 \times 289 + 3$ , c'est-à-dire $2 026 \equiv 3 [7]$ .
Par compatibilité avec les puissances : $2 026^{2026} \equiv 3^{2026} [7]$ .

Étape 2, trouver le cycle des puissances de 3 modulo 7.
$3^{1} \equiv 3$ , $3^{2} = 9 \equiv 2$ , $3^{3} = 27 \equiv 6$ , $3^{4} = 81 \equiv 4$ , $3^{5} \equiv 3 \times 4 = 12 \equiv 5$ , $3^{6} \equiv 3 \times 5 = 15 \equiv 1 [7]$ .
Le cycle a pour longueur 6.

Étape 3, réduire l'exposant modulo 6 (la longueur du cycle).
$6 \times 337 = 2 022$ , donc $2 026 = 6 \times 337 + 4$ .
Ainsi $3^{2026} = (3^{6})^{337} \times 3^{4} \equiv 1^{337} \times 4 = 4 [7]$ .

Conclusion : $2 026^{2026} \equiv 4 [7]$ , et comme $0 \le 4 < 7$ , le reste de la division euclidienne de $2 026^{2026}$ par 7 est 4.
Piège : l'exposant se réduit modulo 6, la longueur du cycle, et jamais modulo 7.
2
Détermine les deux derniers chiffres de $3^{2026}$ .
Voir le corrigéoffert
Les deux derniers chiffres d'un entier naturel forment le reste de sa division euclidienne par 100 : on travaille donc modulo 100.

Étape 1, trouver une puissance de 3 congrue à 1 modulo 100.
On calcule de proche en proche :
$3^{5} = 243 \equiv 43 [100]$
$3^{10} = (3^{5})^{2} \equiv 43^{2} = 1 849 \equiv 49 [100]$
$3^{20} = (3^{10})^{2} \equiv 49^{2} = 2 401 \equiv 1 [100]$
Le cycle a donc pour longueur 20 (au plus) : $3^{20} \equiv 1 [100]$ .

Étape 2, réduire l'exposant modulo 20.
$20 \times 101 = 2 020$ , donc $2 026 = 20 \times 101 + 6$ .
Ainsi $3^{2026} = (3^{20})^{101} \times 3^{6} \equiv 1^{101} \times 3^{6} [100]$ .

Étape 3, calculer 3⁶ modulo 100.
$3^{6} = 729 = 100 \times 7 + 29$ , donc $3^{6} \equiv 29 [100]$ .

Conclusion : $3^{2026} \equiv 29 [100]$ , donc les deux derniers chiffres de $3^{2026}$ sont 2 et 9 : le nombre se termine par 29.
Contrôle : $3^{26} = 3^{20} \times 3^{6} \equiv 1 \times 29 = 29 [100]$ ; or $3^{26} = 2 541 865 828 329$ , qui se termine bien par 29
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Montre que, pour tout entier naturel n, le nombre $A(n) = 3^{2n+2} + 2^{6n+1}$ est divisible par 11.
On raisonnera avec des congruences, sans récurrence.
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4
Soit N un entier naturel dont l'écriture décimale est $N = a_{p} \dots a_{1}a_{0}$ , c'est-à-dire $N = a_{0} + a_{1} \times 10 + a_{2} \times 10^{2} + \dots + a_{p} \times 10^{p}$ .
Démontre que N est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
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5
Démontre que l'équation $x^{2} - 3y^{2} = 5$ n'admet aucune solution $(x \,;\, y)$ dans $\mathbb{Z} ^{2}$ .
Indication : raisonner modulo 3.
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6
Détermine tous les entiers relatifs n vérifiant simultanément :
$n \equiv 2 [5]$ et $n \equiv 3 [7]$ .
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7
Soient n un entier naturel non nul et a, b, c, d des entiers relatifs tels que $a \equiv b [n]$ et $c \equiv d [n]$ .
Démontre par récurrence que $a^{k} \equiv b^{k} [n]$ pour tout entier naturel k.
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8
Soit N un entier naturel d'écriture décimale $N = a_{0} + a_{1} \times 10 + a_{2} \times 10^{2} + \dots + a_{p} \times 10^{p}$ .
Le nombre 918 291 est-il divisible par 11 ? Justifie par le critère démontré.
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9
Sur un livre, le code à barres EAN-13 comporte 12 chiffres suivis d'une clé de contrôle. On calcule la somme S en multipliant alternativement les 12 chiffres par 1, 3, 1, 3, … (en partant de la gauche) ; la clé c est alors l'unique chiffre tel que $S + c \equiv 0 [10]$ .
Un lecteur affiche 9 782 070 480 504. Ce code est-il valide ?
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10
a) Vérifie que $4 \times 2 \equiv 4 \times 5 [6]$ , bien que 2 ne soit pas congru à 5 modulo 6. Que peut-on en conclure sur la « simplification » d'une congruence ?
b) Résous l'équation $4x \equiv 2 [6]$ dans ℤ.
c) Montre que l'équation $3x \equiv 1 [6]$ n'a aucune solution.
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