Congruences dans ℤ
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Détermine le reste de la division euclidienne de 2 026²⁰²⁶ par 7.
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Il faut réduire DEUX choses : la base, puis l'exposant.
Étape 1 — réduire la base modulo 7.
7 × 289 = 2 023, donc 2 026 = 7 × 289 + 3, c'est-à-dire 2 026 ≡ 3 [7].
Par compatibilité avec les puissances : 2 026²⁰²⁶ ≡ 3²⁰²⁶ [7].
Étape 2 — trouver le cycle des puissances de 3 modulo 7.
3¹ ≡ 3, 3² = 9 ≡ 2, 3³ = 27 ≡ 6, 3⁴ = 81 ≡ 4, 3⁵ ≡ 3 × 4 = 12 ≡ 5, 3⁶ ≡ 3 × 5 = 15 ≡ 1 [7].
Le cycle a pour longueur 6.
Étape 3 — réduire l'exposant modulo 6 (la longueur du cycle).
6 × 337 = 2 022, donc 2 026 = 6 × 337 + 4.
Ainsi 3²⁰²⁶ = (3⁶)³³⁷ × 3⁴ ≡ 1³³⁷ × 4 = 4 [7].
Conclusion : 2 026²⁰²⁶ ≡ 4 [7], et comme 0 ≤ 4 < 7, le reste de la division euclidienne de 2 026²⁰²⁶ par 7 est 4.
Piège : l'exposant se réduit modulo 6, la longueur du cycle, et jamais modulo 7. - 2
Soit N un entier naturel dont l'écriture décimale est N = aₚ … a₁a₀, c'est-à-dire N = a₀ + a₁ × 10 + a₂ × 10² + … + aₚ × 10ᵖ.
Démontre que N est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.✅ Voir le corrigéoffert
Tout repose sur le reste de 10 modulo 9.
Étape 1. On a 10 = 9 + 1, donc 10 ≡ 1 [9].
Par compatibilité avec les puissances, pour tout entier naturel k :
10ᵏ ≡ 1ᵏ = 1 [9].
Étape 2. On multiplie chaque congruence par le chiffre correspondant (compatibilité avec le produit) :
aₖ × 10ᵏ ≡ aₖ × 1 = aₖ [9].
Étape 3. On additionne ces p + 1 congruences (compatibilité avec la somme) :
N = a₀ + a₁ × 10 + … + aₚ × 10ᵖ ≡ a₀ + a₁ + … + aₚ [9].
Autrement dit, N est congru modulo 9 à la somme S de ses chiffres.
Étape 4 — conclusion. Comme N ≡ S [9], la différence N − S est un multiple de 9.
• Si 9 divise S, alors 9 divise S + (N − S) = N.
• Réciproquement, si 9 divise N, alors 9 divise N − (N − S) = S.
Donc 9 divise N si et seulement si 9 divise S : le critère est démontré.
Remarque : le raisonnement vaut aussi modulo 3, car 10 ≡ 1 [3] également — d'où le même critère pour 3.
Contrôle : N = 4 725, S = 18 ; on a 4 725 = 9 × 525 et 18 = 9 × 2, les deux sont bien divisibles par 9 ✔ - 3
Soit N un entier naturel d'écriture décimale N = a₀ + a₁ × 10 + a₂ × 10² + … + aₚ × 10ᵖ.
a) Démontre que N ≡ a₀ − a₁ + a₂ − … + (−1)ᵖaₚ [11].
b) Applique ce critère au nombre 918 291 : est-il divisible par 11 ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Sur un livre, le code à barres EAN-13 comporte 12 chiffres suivis d'une clé de contrôle. On calcule la somme S en multipliant alternativement les 12 chiffres par 1, 3, 1, 3, … (en partant de la gauche) ; la clé c est alors l'unique chiffre tel que S + c ≡ 0 [10].
a) Calcule la clé du code 978 207 040 850.
b) Un lecteur affiche 9 782 070 480 504. Ce code est-il valide ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Montre que, pour tout entier naturel n, le nombre A(n) = 3²ⁿ⁺² + 2⁶ⁿ⁺¹ est divisible par 11.
On raisonnera avec des congruences, sans récurrence.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Démontre que l'équation x² − 3y² = 5 n'admet aucune solution (x ; y) dans ℤ².
Indication : raisonner modulo 3.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Détermine tous les entiers relatifs n vérifiant simultanément :
n ≡ 2 [5] et n ≡ 3 [7].🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Détermine les deux derniers chiffres de 3²⁰²⁶.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Soient n un entier naturel non nul et a, b, c, d des entiers relatifs tels que a ≡ b [n] et c ≡ d [n].
a) Démontre que a + c ≡ b + d [n].
b) Démontre que ac ≡ bd [n].
c) Déduis-en par récurrence que aᵏ ≡ bᵏ [n] pour tout entier naturel k.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
a) Vérifie que 4 × 2 ≡ 4 × 5 [6], bien que 2 ne soit pas congru à 5 modulo 6. Que peut-on en conclure sur la « simplification » d'une congruence ?
b) Résous l'équation 4x ≡ 2 [6] dans ℤ.
c) Montre que l'équation 3x ≡ 1 [6] n'a aucune solution.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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