Congruences dans ℤ
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Détermine le plus petit entier naturel r tel que 250 ≡ r [7].
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Dire que 250 ≡ r [7] avec 0 ≤ r < 7, c'est dire que r est le reste de la division euclidienne de 250 par 7.
On encadre : 7 × 35 = 245 et 7 × 36 = 252.
Comme 245 ≤ 250 < 252, le quotient est 35 et le reste vaut 250 − 245 = 5.
Donc 250 = 7 × 35 + 5, avec 0 ≤ 5 < 7.
Conclusion : 250 ≡ 5 [7], et le plus petit entier naturel cherché est r = 5.
Vérification par la définition : 250 − 5 = 245 = 7 × 35, donc 7 divise bien 250 − 5. - 2
Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifie à chaque fois.
a) 17 ≡ 5 [6]
b) 41 ≡ 6 [7]
c) 100 ≡ 2 [9]✅ Voir le corrigéoffert
On utilise la définition : a ≡ b [n] signifie que n divise (a − b).
a) 17 − 5 = 12 = 6 × 2, donc 6 divise 17 − 5.
L'affirmation 17 ≡ 5 [6] est VRAIE.
Contrôle par les restes : 17 = 6 × 2 + 5 et 5 = 6 × 0 + 5 ; les deux nombres ont le même reste 5.
b) 41 − 6 = 35 = 7 × 5, donc 7 divise 41 − 6.
L'affirmation 41 ≡ 6 [7] est VRAIE.
Contrôle : 41 = 7 × 5 + 6, reste 6 ; et 6 = 7 × 0 + 6, reste 6.
c) 100 − 2 = 98. Or 98 = 9 × 10 + 8 : le reste n'est pas nul, donc 9 ne divise pas 98.
L'affirmation 100 ≡ 2 [9] est FAUSSE.
La bonne congruence est 100 = 9 × 11 + 1, donc 100 ≡ 1 [9]. - 3
Détermine le plus petit entier naturel r tel que −23 ≡ r [7].
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Soient a et b deux entiers tels que a ≡ 3 [8] et b ≡ 5 [8].
Détermine le reste de la division euclidienne de a + b, puis de a × b, par 8.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
a) Vérifie que 4 ≡ −1 [5].
b) Déduis-en le reste de la division euclidienne de 4¹⁰ par 5.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Le nombre 4 725 est-il divisible par 9 ? Utilise le critère de la somme des chiffres, puis vérifie.
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Détermine le reste de la division euclidienne de 2 024 par 3 en utilisant la somme de ses chiffres.
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Soit n un entier relatif tel que n ≡ 2 [5]. Détermine le reste de la division euclidienne de 3n + 1 par 5.
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a) Écris la forme générale des entiers n tels que n ≡ 3 [8].
b) Donne tous ceux qui sont compris entre 0 et 40.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Traduis chacune des phrases suivantes par une congruence portant sur l'entier n.
a) n est pair.
b) n est un multiple de 7.
c) Le reste de la division euclidienne de n par 4 est 3.
d) n est impair.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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