Congruences dans ℤ

On cherche le cycle des puissances de 2 modulo 9 :
$2^{1} \equiv 2$, $2^{2} \equiv 4$, $2^{3} = 8 \equiv 8$, $2^{4} = 16 \equiv 7$, $2^{5} = 32 \equiv 5$, $2^{6} = 64 = 9 \times 7 + 1 \equiv 1 [9]$.
On retombe sur 1 à la sixième puissance : le cycle a pour longueur 6.
On divise l'exposant par 6 : $45 = 6 \times 7 + 3$.
Donc $2^{45} = (2^{6})^{7} \times 2^{3} \equiv 1^{7} \times 8 = 8 [9]$.
Comme $0 \le 8 < 9$, le reste de la division euclidienne de $2^{45}$ par 9 est 8.
Contrôle : $2^{9} = 512 = 9 \times 56 + 8$, reste 8, et $9 = 6 \times 1 + 3$ donne bien le même reste d'exposant 3

Comme $10 \equiv 1 [9]$, toute puissance de 10 est congrue à 1 modulo 9 : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo 9.
La somme des chiffres du nombre est :
$3 + 7 + x + 4 = 14 + x$.
Le nombre est divisible par 9 si et seulement si $14 + x \equiv 0 [9]$.
Or x est un chiffre, donc $0 \le x \le 9$, ce qui donne $14 \le 14 + x \le 23$.
Dans cet intervalle, le seul multiple de 9 est 18.
On résout donc $14 + x = 18$, soit $x = 4$.
Conclusion : $x = 4$, et le nombre cherché est 3 744.
Je vérifie : $3 + 7 + 4 + 4 = 18 = 9 \times 2$, et $3 744 = 9 \times 416$. Le reste est nul
Remarque : comme 3 divise 9, ce nombre est aussi divisible par 3.