Congruences dans ℤ
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Détermine le reste de la division euclidienne de 2¹⁰⁰ par 7.
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On calcule les premières puissances de 2 modulo 7 pour repérer un cycle :
2¹ = 2 ≡ 2 [7]
2² = 4 ≡ 4 [7]
2³ = 8 = 7 + 1 ≡ 1 [7]
On retombe sur 1 : le cycle a pour longueur 3.
On effectue la division euclidienne de l'exposant par 3 :
100 = 3 × 33 + 1.
Donc 2¹⁰⁰ = 2³ˣ³³⁺¹ = (2³)³³ × 2¹.
En passant aux congruences : (2³)³³ ≡ 1³³ = 1 [7], donc 2¹⁰⁰ ≡ 1 × 2 = 2 [7].
Comme 0 ≤ 2 < 7, le reste de la division euclidienne de 2¹⁰⁰ par 7 est 2.
Contrôle sur un petit cas : 2⁴ = 16 = 7 × 2 + 2, et 4 = 3 × 1 + 1 donne bien un reste de 2 ✔
Piège : on réduit l'exposant modulo 3 (la LONGUEUR DU CYCLE), surtout pas modulo 7. - 2
Détermine le reste de la division euclidienne de 3²⁰²⁴ par 5.
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On cherche le cycle des puissances de 3 modulo 5 :
3¹ = 3 ≡ 3 [5]
3² = 9 ≡ 4 [5]
3³ = 27 ≡ 2 [5]
3⁴ = 81 = 5 × 16 + 1 ≡ 1 [5]
Le cycle a pour longueur 4.
On divise l'exposant par 4 : 2 024 = 4 × 506 + 0, car 4 × 506 = 2 024.
Donc 3²⁰²⁴ = (3⁴)⁵⁰⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ = 1 [5].
Comme 0 ≤ 1 < 5, le reste de la division euclidienne de 3²⁰²⁴ par 5 est 1.
Contrôle : 3⁸ = 6 561 = 5 × 1 312 + 1, reste 1, et 8 est bien un multiple de 4 ✔ - 3
Quel est le chiffre des unités de 7²⁰²⁵ ?
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a) Dresse le tableau des restes de n² modulo 5, selon le reste de n modulo 5.
b) Déduis-en qu'il n'existe aucun entier relatif n tel que n² ≡ 3 [5].🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On utilise le critère de divisibilité par 11 : un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres, en partant des unités, l'est.
a) Le nombre 8 294 est-il divisible par 11 ?
b) Même question pour 8 291 ; détermine dans ce cas le reste modulo 11.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Détermine tous les entiers relatifs n tels que 3n ≡ 2 [7].
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Détermine le reste de la division euclidienne de 2⁴⁵ par 9.
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Soient a et b deux entiers tels que a ≡ 4 [9] et b ≡ 7 [9].
Détermine le reste modulo 9 de a + b, de a − b, de a × b et de a².🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Montre que, pour tout entier relatif n, le nombre n² + n + 1 n'est jamais divisible par 5.
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Le nombre 3 7 x 4 s'écrit avec quatre chiffres, dont le troisième, noté x, est inconnu.
Détermine la valeur de x pour que ce nombre soit divisible par 9, puis vérifie.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
Comment ça s'est passé ?
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