Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

a) On factorise : $n^{3} - n = n(n^{2} - 1) = (n-1)n(n+1)$.
Ce sont trois entiers consécutifs.
Parmi trois entiers consécutifs, au moins un est pair : le produit est divisible par 2.
Parmi trois entiers consécutifs, exactement un est multiple de 3 : le produit est divisible par 3.
Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, le produit est divisible par $2 \times 3 = 6$.

b) $n^{3} - n \equiv 0 \pmod 6$, donc $n^{3} \equiv n \pmod 6$.
Le reste de $n^{3}$ modulo 6 est donc le même que celui de $n$.
Contrôle : $4^{3} = 64 = 6 \times 10 + 4$, et 4 a bien pour reste 4 ✓.
De même $5^{3} = 125 = 6 \times 20 + 5$ ✓.
Ce résultat se généralise : $n^{3} \equiv n$ modulo 2 et modulo 3 séparément.
Modulo 2, cela dit qu'un cube a la même parité que son entier.
Modulo 3, c'est un cas particulier du petit théorème de Fermat.
Le combiner aux deux modules premiers entre eux redonne bien le résultat modulo 6.

a) Un entier impair s'écrit $a = 2k + 1$ avec $k$ entier.
$a^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1$.
Or $k$ et $k+1$ sont consécutifs : leur produit est pair, donc $k(k+1) = 2m$.
Ainsi $a^{2} = 8m + 1$.
Le reste de $a^{2}$ dans la division par 8 vaut donc toujours 1.

b) $2\,023 = 8 \times 252 + 7$ : son reste modulo 8 est 7, et non 1.
Ce nombre ne peut donc pas être le carré d'un entier impair.
Il est de plus impair, donc il n'est le carré d'aucun entier.
En effet, le carré d'un entier pair est de la forme $4k^{2}$, donc pair.
Contrôle direct : $44^{2} = 1\,936$ et $45^{2} = 2\,025$, donc 2 023 n'est pas un carré ✓.
Le raisonnement modulo 8 est plus fort : il élimine d'un coup une infinité de candidats.
C'est l'intérêt des congruences : prouver une impossibilité sans essayer un seul cas.