Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

🟠 Difficile

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1
Soit $n$ un entier relatif.
a) Montre que $n^{2} + n$ est toujours pair.
b) En déduire que $n^{2} + n + 1$ n'est jamais divisible par 2.
Voir le corrigéoffert
a) $n^{2} + n = n(n + 1)$ .
Ce sont deux entiers consécutifs : l'un des deux est pair.
Leur produit est donc pair, quel que soit $n$ .

b) $n^{2} + n$ étant pair, $n^{2} + n + 1$ est impair.
Il n'est donc jamais divisible par 2.
On peut l'écrire en congruence : $n^{2} + n \equiv 0$ , donc $n^{2} + n + 1 \equiv 1 \pmod 2$ .
Autre rédaction possible : on distingue les deux cas.
Si $n$ est pair, $n^{2}$ l'est aussi, donc $n^{2} + n$ est pair.
Si $n$ est impair, $n^{2}$ l'est aussi, et la somme de deux impairs est paire.
Dans les deux cas, ajouter 1 donne un nombre impair.
2
On considère les entiers $a$ tels que $a \equiv 4 \pmod 9$ .
a) Détermine le reste de $a^{2}$ modulo 9.
b) Détermine le reste de $a^{3}$ modulo 9.
Voir le corrigéoffert
a) Si $a \equiv 4 \pmod 9$ , alors $a^{2} \equiv 4^{2} = 16 \pmod 9$ .
Or $16 = 9 + 7$ , donc $a^{2} \equiv 7 \pmod 9$ .

b) $a^{3} \equiv a^{2} \times a \equiv 7 \times 4 = 28 \pmod 9$ .
Or $28 = 27 + 1$ , donc $a^{3} \equiv 1 \pmod 9$ .
Contrôle avec $a = 13$ : $13^{3} = 2\,197 = 9 \times 244 + 1$ .
Les congruences se multiplient : c'est ce qui rend ces calculs si rapides.
On en déduit aussi $a^{6} \equiv (a^{3})^{2} \equiv 1 \pmod 9$ .
Les puissances de $a$ modulo 9 sont donc périodiques de période 3 : 4, 7, 1, 4, 7, 1, …
Pour connaître $a^{50} \bmod 9$ , il suffit de calculer $50 \equiv 2 \pmod 3$ .
Donc $a^{50} \equiv a^{2} \equiv 7 \pmod 9$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Détermine tous les entiers relatifs $n$ tels que $(n + 2)$ divise $(n + 14)$ .
a) Transforme le problème pour faire apparaître un diviseur d'un entier fixe.
b) Donne toutes les valeurs de $n$ .
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4
Soit $n$ un entier naturel.
a) Montre que $10 \equiv 1 \pmod 9$ , puis que $10^{k} \equiv 1 \pmod 9$ .
b) En déduire le critère de divisibilité par 9.
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5
Effectue la division euclidienne de $-1\,234$ par 7.
a) Donne le quotient $q$ et le reste $r$ .
b) Vérifie que $0 \le r < 7$ et contrôle l'égalité.
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6
On étudie les puissances de 3 modulo 7.
a) Calcule $3^{k} \bmod 7$ pour $k$ de 1 à 6.
b) En déduire le reste de $3^{2\,024}$ dans la division par 7.
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7
Soit $n$ un entier relatif.
a) Montre que $n^{3} - n$ est divisible par 6.
b) En déduire le reste de la division de $n^{3}$ par 6 en fonction de celui de $n$ .
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8
On considère l'entier $N = 7^{100}$ .
a) Détermine le reste de $N$ dans la division par 5.
b) Détermine son chiffre des unités.
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9
Soit $a$ un entier impair.
a) Montre que le reste de la division euclidienne de $a^{2}$ par 8 vaut toujours 1.
b) En déduire que 2 023 n'est pas le carré d'un entier impair.
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10
Le reste de la division euclidienne d'un entier naturel $a$ par 24 est 17.
a) Détermine le reste de la division de $a$ par 8.
b) Détermine le reste de la division de $a$ par 6.
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