Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

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1
Donne la liste de tous les diviseurs positifs de 48.
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On cherche tous les entiers $d > 0$ tels que d divise 48.
On essaie les entiers dans l'ordre et on regroupe par paires dont le produit vaut 48 :
$1 \times 48$ , $2 \times 24$ , $3 \times 16$ , $4 \times 12$ , $6 \times 8$ .
Les diviseurs positifs de 48 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Il y en a 10.
Vérification : $48 = 2^{4} \times 3$ , le nombre de diviseurs est $(4 + 1) \times (1 + 1) = 10$ , ce qui confirme le compte.
2
Effectue la division euclidienne de 250 par 7 : donne le quotient q et le reste r.
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On cherche q et r entiers tels que $250 = 7q + r$ avec $0 \le r < 7$ .
On encadre : $7 \times 35 = 245$ et $7 \times 36 = 252$ .
Comme $245 \le 250 < 252$ , le quotient est $q = 35$ .
Le reste vaut $r = 250 - 245 = 5$ , et on a bien $0 \le 5 < 7$ .
Conclusion : $250 = 7 \times 35 + 5$ , donc $q = 35$ et $r = 5$ .
3
Donne la liste de tous les diviseurs positifs de 60, puis dis combien il y en a.
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4
Soient a et b deux entiers relatifs. On suppose que 5 divise a et que 5 divise b. Montre que 5 divise $(3a - 2b)$ .
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5
Le nombre 1 001 est-il divisible par 13 ? Justifie en effectuant la division euclidienne.
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6
Soient a et b deux entiers relatifs. On suppose que 7 divise a et que a divise b. Montre que 7 divise b.
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7
Effectue la division euclidienne de 437 par 12 : donne le quotient q et le reste r.
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8
Effectue la division euclidienne de $-38$ par 5 : donne le quotient q et le reste r.
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9
Effectue la division euclidienne de $-100$ par 7 : donne le quotient q et le reste r.
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10
Le reste de la division euclidienne d'un entier relatif n par 9 est 4. Écris n sous la forme $9k + 4$ , puis donne trois valeurs possibles de n, dont une négative.
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