Divisibilité et congruences dans ℤ
🟢 Facile📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.
- 1
Donne la liste de tous les diviseurs positifs de 48.
✅ Voir le corrigéoffert
On cherche tous les entiers d > 0 tels que d divise 48.
On essaie les entiers dans l'ordre et on regroupe par paires dont le produit vaut 48 :
1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12, 6 × 8.
Les diviseurs positifs de 48 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Il y en a 10.
Vérification : 48 = 2⁴ × 3, le nombre de diviseurs est (4 + 1) × (1 + 1) = 10, ce qui confirme le compte. - 2
Soient a et b deux entiers relatifs. On suppose que 5 divise a et que 5 divise b. Montre que 5 divise (3a − 2b).
✅ Voir le corrigéoffert
Puisque 5 | a, il existe un entier k tel que a = 5k.
Puisque 5 | b, il existe un entier k' tel que b = 5k'.
Alors : 3a − 2b = 3 × 5k − 2 × 5k' = 5 × (3k − 2k').
Comme 3k − 2k' est un entier, 3a − 2b est un multiple de 5.
Donc 5 | (3a − 2b).
Remarque : c'est la propriété de combinaison linéaire (si a | b et a | c alors a | (bu + cv)), ici appliquée avec u = 3 et v = −2. - 3
Effectue la division euclidienne de 250 par 7 : donne le quotient q et le reste r.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Effectue la division euclidienne de −38 par 5 : donne le quotient q et le reste r.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Détermine le reste de la division euclidienne de 83 par 6, puis complète : 83 ≡ ... [6].
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
L'égalité 100 ≡ 4 [8] est-elle vraie ? Justifie.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Détermine le reste de 3⁴ modulo 5.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Le nombre 4 251 est-il divisible par 3 ? Justifie avec le critère de divisibilité.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Le nombre 7 316 est-il divisible par 4 ? Justifie avec le critère de divisibilité.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Le nombre 6 543 est-il divisible par 9 ? Justifie avec le critère de divisibilité.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
Comment ça s'est passé ?
Retrouve tout dans Mon suivi.