Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

Soit n un entier impair. Par définition, il existe un entier k tel que $n = 2k + 1$.
On développe le carré :
$n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 4(k^{2} + k) + 1$.
On pose $q = k^{2} + k$, qui est un entier. On obtient $n^{2} = 4q + 1$.
Or $0 \le 1 < 4$ : la condition sur le reste est respectée.
Par unicité du couple (quotient, reste), le reste de la division euclidienne de $n^{2}$ par 4 est donc 1.
Je vérifie : $n = 7$ (impair), $n^{2} = 49 = 4 \times 12 + 1$, reste 1. Correct.
Contrôle : $n = -3$ (impair), $n^{2} = 9 = 4 \times 2 + 1$, reste 1. Correct.

Par hypothèse, d | n et $d | (n + 1)$.
D'après la propriété des combinaisons linéaires, d divise toute expression de la forme $u \times n + v \times (n + 1)$, avec u et v entiers.
On choisit $u = -1$ et $v = 1$ :
$(n + 1) - n = 1$.
Donc d divise 1.
Or les seuls diviseurs de 1 dans ℤ sont 1 et $-1$.
Conclusion : $d = 1$ ou $d = -1$.
Autrement dit, deux entiers consécutifs n'ont jamais de diviseur commun autre que 1 et $-1$.
Exemple : les diviseurs positifs de 14 sont 1, 2, 7, 14 et ceux de 15 sont 1, 3, 5, 15 ; le seul diviseur commun est bien 1.