Divisibilité et congruences dans ℤ
🟡 Moyen📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.
- 1
Détermine le reste de la division euclidienne de 2¹⁰ par 7.
✅ Voir le corrigéoffert
On cherche un cycle des puissances de 2 modulo 7.
2¹ ≡ 2 [7]
2² = 4 ≡ 4 [7]
2³ = 8 ≡ 1 [7]
On a trouvé 2³ ≡ 1 [7] : le cycle est de longueur 3.
On écrit 10 = 3 × 3 + 1, donc :
2¹⁰ = (2³)³ × 2¹ ≡ 1³ × 2 = 2 [7].
Le reste est 2.
Vérification : 2¹⁰ = 1 024 = 7 × 146 + 2, le reste est bien 2. - 2
Détermine le reste de la division euclidienne de 7¹⁰⁰ par 5.
✅ Voir le corrigéoffert
On réduit d'abord la base : 7 ≡ 2 [5], donc 7¹⁰⁰ ≡ 2¹⁰⁰ [5].
On cherche un cycle des puissances de 2 modulo 5 :
2¹ ≡ 2, 2² = 4, 2³ = 8 ≡ 3, 2⁴ = 16 ≡ 1 [5].
Le cycle est de longueur 4 (2⁴ ≡ 1).
On écrit 100 = 4 × 25, donc :
2¹⁰⁰ = (2⁴)²⁵ ≡ 1²⁵ = 1 [5].
Donc 7¹⁰⁰ ≡ 1 [5] : le reste est 1. - 3
Montre que pour tout entier relatif n, le nombre n³ − n est divisible par 3.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Détermine le reste de la division euclidienne de 4²⁰²⁴ par 9.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Détermine le chiffre des unités de 3²⁰²⁵.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Montre que pour tout entier naturel n, le nombre 9ⁿ − 1 est divisible par 8.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Détermine tous les entiers relatifs n tels que 4n + 3 ≡ 0 [7].
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Détermine le reste de la division euclidienne de 5⁵⁰ par 7.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Le nombre 3 729 est-il divisible par 11 ? Justifie avec le critère de la somme alternée des chiffres.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Montre que si un entier n est impair, alors n² ≡ 1 [8].
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
Comment ça s'est passé ?
Retrouve tout dans Mon suivi.