Divisibilité et congruences dans ℤ
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On étudie les puissances de 2.
a) Détermine le reste de 2²⁰²⁵ modulo 7.
b) Détermine le reste de 2²⁰²⁵ modulo 11.
c) Détermine le chiffre des unités de 2²⁰²⁵.✅ Voir le corrigéoffert
a) Cycle modulo 7 : 2³ = 8 ≡ 1 [7], le cycle est de longueur 3.
On regarde 2025 modulo 3 : 2 + 0 + 2 + 5 = 9 ≡ 0 [3], donc 2025 = 3 × 675.
Donc 2²⁰²⁵ = (2³)⁶⁷⁵ ≡ 1⁶⁷⁵ = 1 [7]. Le reste modulo 7 est 1.
b) Cycle modulo 11 : 2¹⁰ = 1 024 = 11 × 93 + 1, donc 2¹⁰ ≡ 1 [11], cycle de longueur 10.
On regarde 2025 modulo 10 : 2025 = 10 × 202 + 5, donc 2025 ≡ 5 [10].
Donc 2²⁰²⁵ = (2¹⁰)²⁰² × 2⁵ ≡ 1 × 32 [11]. Or 32 = 11 × 2 + 10, donc 2²⁰²⁵ ≡ 10 [11]. Le reste modulo 11 est 10.
c) Le chiffre des unités est le reste modulo 10. Cycle des puissances de 2 modulo 10 : 2, 4, 8, 6, puis 2⁵ = 32 ≡ 2 : cycle de longueur 4.
On regarde 2025 modulo 4 : 2025 = 4 × 506 + 1, donc 2025 ≡ 1 [4], ce qui correspond au premier terme du cycle.
Donc 2²⁰²⁵ ≡ 2 [10] : le chiffre des unités est 2. - 2
On pose A(n) = 4ⁿ + 6n − 1 pour tout entier naturel n.
a) Calcule A(0), A(1) et A(2).
b) Montre par récurrence que A(n) est divisible par 9 pour tout entier naturel n.✅ Voir le corrigéoffert
a) A(0) = 4⁰ + 0 − 1 = 1 − 1 = 0 = 9 × 0.
A(1) = 4 + 6 − 1 = 9 = 9 × 1.
A(2) = 16 + 12 − 1 = 27 = 9 × 3.
Ces trois valeurs sont bien divisibles par 9.
b) Initialisation : A(0) = 0 est divisible par 9. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons 9 | A(n) pour un certain n (hypothèse de récurrence). Montrons 9 | A(n + 1).
A(n + 1) = 4ⁿ⁺¹ + 6(n + 1) − 1 = 4 × 4ⁿ + 6n + 5.
On fait apparaître A(n) : 4 × A(n) = 4 × 4ⁿ + 24n − 4.
Donc A(n + 1) − 4 × A(n) = (4 × 4ⁿ + 6n + 5) − (4 × 4ⁿ + 24n − 4) = −18n + 9 = 9 × (1 − 2n).
Ainsi A(n + 1) = 4 × A(n) + 9 × (1 − 2n).
Par hypothèse 9 | A(n), donc 9 | 4 × A(n) ; et 9 | 9 × (1 − 2n). Comme 9 divise la somme, 9 | A(n + 1).
Conclusion : par récurrence, 9 divise A(n) pour tout entier naturel n. - 3
On cherche les deux derniers chiffres de 3²⁰²⁴.
a) Sachant que 3¹⁰ = 59 049, montre que 3²⁰ ≡ 1 [100].
b) Déduis-en le reste de 3²⁰²⁴ modulo 100.
c) Donne les deux derniers chiffres de 3²⁰²⁴.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Détermine tous les entiers relatifs n tels que n² + n + 1 ≡ 0 [7].
a) Explique pourquoi il suffit de tester les restes de n modulo 7.
b) Construis le tableau des valeurs de n² + n + 1 modulo 7.
c) Conclus.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On travaille modulo 3.
a) Montre que le carré d'un entier est congru à 0 ou à 1 modulo 3.
b) Déduis-en que, pour tout entier n, le nombre n² + 1 n'est jamais divisible par 3.
c) Montre que la somme de deux carrés n² + m² n'est divisible par 3 que si n et m sont tous deux divisibles par 3.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On veut justifier le critère de divisibilité par 11.
a) Montre que pour tout entier naturel k, 10ᵏ ≡ (−1)ᵏ [11].
b) Déduis-en que tout entier est congru modulo 11 à la somme alternée de ses chiffres.
c) Applique ce critère au nombre 5 918 : est-il divisible par 11 ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On s'intéresse à la divisibilité de 2ⁿ + 1 par 3.
a) Montre que pour tout entier naturel n, 2ⁿ ≡ (−1)ⁿ [3].
b) Déduis-en que 2ⁿ + 1 est divisible par 3 si et seulement si n est impair.
c) Les nombres 2¹⁰¹ + 1 et 2¹⁰⁰ + 1 sont-ils divisibles par 3 ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Le reste de la division euclidienne d'un entier a par 9 est 7.
a) Détermine le reste de a² modulo 9.
b) Détermine le reste de 2a modulo 9.
c) Détermine le reste de a + 5 modulo 9.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On étudie les puissances de 7 modulo 100.
a) Calcule 7² puis 7⁴ modulo 100.
b) Déduis-en le reste de 7²⁰²⁴ modulo 100, puis les deux derniers chiffres de 7²⁰²⁴.
c) Détermine les deux derniers chiffres de 7²⁰²⁵.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
On étudie les restes de 10ⁿ modulo 7.
a) Calcule les restes de 10ⁿ modulo 7 pour n allant de 1 à 6, et montre que la suite des restes est périodique de période 6.
b) Déduis-en le reste de 10²⁰²⁴ modulo 7.
c) Déduis-en le reste de 10²⁰²⁴ − 4 modulo 7.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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