Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

a) Diviseurs positifs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, $36 \to d(36) = 9$, qui est impair, et $36 = 6^{2}$.
Diviseurs positifs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, $12 \to d(12) = 6$, qui est pair, et 12 n'est pas un carré parfait.
Diviseurs positifs de 49 : 1, 7, $49 \to d(49) = 3$, qui est impair, et $49 = 7^{2}$.

b) L'idée est de regrouper les diviseurs par paires.
Si d est un diviseur positif de n, alors $\frac{n}{d}$ est aussi un diviseur positif de n. On associe donc à d son « partenaire » $d' = \frac{n}{d}$. Cette association est réciproque : le partenaire de d' est d.
Les diviseurs se regroupent ainsi en paires {d ; d'}, sauf lorsque d est son propre partenaire.
Or $d = d'$ signifie $d = \frac{n}{d}$, c'est-à-dire $d^{2} = n$.

• Si n n'est pas un carré parfait : aucun diviseur ne vérifie $d^{2} = n$, donc tous les diviseurs se regroupent en paires de deux éléments distincts. Leur nombre total est donc pair : d(n) est pair.
• Si n est un carré parfait, disons $n = m^{2}$ avec m entier naturel non nul : le diviseur m est le seul à être son propre partenaire, car l'équation $d^{2} = n$ n'a qu'une seule solution positive. Tous les autres diviseurs se regroupent deux par deux. Le total s'écrit donc « un nombre pair $\mathord{}+ 1$ » : d(n) est impair.

Conclusion : d(n) est impair si et seulement si n est un carré parfait.
Contrôle sur $36 = 6^{2}$ : les paires sont {1 ; 36}, {2 ; 18}, {3 ; 12}, {4 ; 9}, et 6 reste seul, soit $4 \times 2 + 1 = 9$ diviseurs. C'est cohérent avec la question a).

Le reste de la division euclidienne de n par 6 vaut 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. On écrit $n = 6k + r$ et on traite les six cas : il suffit, dans chacun, de faire apparaître un facteur 6.

• $r = 0$ : $n = 6k$, donc $n(n + 1)(n + 2) = 6 \times k(n + 1)(n + 2)$. Multiple de 6.
• $r = 1$ : $n + 1 = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ et $n + 2 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.
Donc $(n + 1)(n + 2) = 2 \times 3 \times (3k + 1)(2k + 1) = 6 \times (3k + 1)(2k + 1)$. Multiple de 6.
• $r = 2$ : $n = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ et $n + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.
Donc $n(n + 1) = 6 \times (3k + 1)(2k + 1)$. Multiple de 6.
• $r = 3$ : $n = 6k + 3 = 3(2k + 1)$ et $n + 1 = 6k + 4 = 2(3k + 2)$.
Donc $n(n + 1) = 6 \times (2k + 1)(3k + 2)$. Multiple de 6.
• $r = 4$ : $n + 2 = 6k + 6 = 6(k + 1)$. Multiple de 6.
• $r = 5$ : $n + 1 = 6k + 6 = 6(k + 1)$. Multiple de 6.

Dans les six cas, le produit $n(n + 1)(n + 2)$ s'écrit $6 \times (un \text{entier})$ : il est divisible par 6.
Conclusion : 6 divise $n(n + 1)(n + 2)$ pour tout entier relatif n.
Vérifications : $n = 5 \to 5 \times 6 \times 7 = 210 = 6 \times 35$; $n = -4 \to (-4) \times (-3) \times (-2) = -24 = 6 \times (-4)$.