Optimisation linéaire et régionnement du plan

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y \le 10$ et $x + 2y \le 8$.
a) Détermine ses quatre sommets.
b) Détermine le maximum de $z = 5x + 4y$ sur cette région.

Une créatrice fabrique x bracelets et y colliers par semaine. Un bracelet demande 1 heure et rapporte 20 € ; un collier demande 2 heures et rapporte 35 €. Elle travaille au plus 16 heures et ne peut pas vendre plus de 10 bijoux par semaine.
a) Écris les contraintes et le bénéfice z.
b) Détermine la production qui maximise le bénéfice.

Une entreprise loue x petits camions (5 tonnes chacun, 300 € la journée) et y grands camions (10 tonnes chacun, 500 € la journée). Elle doit transporter au moins 40 tonnes et utiliser au moins 6 camions pour desservir toutes ses tournées.
a) Écris les contraintes et le coût z.
b) Les sommets de la région sont $(0 \,;\, 6)$, $(4 \,;\, 2)$ et $(8 \,;\, 0)$. Vérifie le sommet $(4 \,;\, 2)$ par le calcul, puis détermine la location la moins chère.

La région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y \le 8$ et $y \le 3$ a pour sommets $(0 \,;\, 0)$, $(4 \,;\, 0)$, $(2{,}5 \,;\, 3)$ et $(0 \,;\, 3)$. On veut maximiser $z = 4x + 3y$, où x et y sont des nombres entiers.
a) Détermine le sommet optimal et la valeur de z en ce sommet.
b) Détermine la meilleure solution à coordonnées entières.

La région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y \le 10$ et $x + 2y \le 8$ a pour sommets $(0 \,;\, 0)$, $(5 \,;\, 0)$, $(4 \,;\, 2)$ et $(0 \,;\, 4)$.
a) Détermine le maximum de $z = 5x + 4y$.
b) Détermine le maximum de $z' = x + 3y$. L'optimum est-il atteint au même sommet ?

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 4$ et $x + 2y \le 8$, et l'objectif $z = x + 2y$.
a) Détermine les sommets de la région et la valeur de z en chacun.
b) Combien de points de la région réalisent le maximum de z ? Explique-le avec les droites de niveau.

Une entreprise voudrait produire des quantités x et y avec les contraintes $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 3$ (capacité) et $2x + y \ge 8$ (commande).
a) Montre que, pour tout point vérifiant $x \ge 0$, $y \ge 0$ et $x + y \le 3$, on a $2x + y \le 6$.
b) Que peut-on dire de la région admissible ? Que doit faire l'entreprise ?

Un traiteur prépare x plateaux A et y plateaux B. Les ingrédients coûtent 3 € par plateau A et 5 € par plateau B, pour un budget de 150 €. Il doit préparer au moins 10 plateaux A et au plus 40 plateaux en tout.
a) Écris les contraintes.
b) Les productions (20 ; 15) et (35 ; 10) sont-elles réalisables ?

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + 3y \le 13$ et $x + y \le 5$.
a) Détermine ses sommets.
b) Détermine le maximum de $z = 3x + 4y$.

On cherche le minimum de $z = 2x + 3y$ sur la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + 2y \ge 8$ et $3x + y \ge 9$.
a) Détermine les trois sommets de cette région non bornée.
b) Détermine le minimum de z.