Optimisation linéaire et régionnement du plan

Un atelier fabrique x bibliothèques et y bureaux par mois. Une bibliothèque demande 3 m² de bois et 4 heures de travail, et rapporte 80 € ; un bureau demande 2 m² de bois et 6 heures, et rapporte 90 €. L'atelier dispose de 60 m² de bois et de 110 heures de travail.
a) Écris les contraintes et le bénéfice z.
b) Détermine les sommets de la région admissible.
c) Quelle production l'atelier doit-il choisir pour maximiser son bénéfice, et quel est ce bénéfice ?

Pour un repas en collectivité, on combine x portions d'un plat F1 et y portions d'un plat F2. Une portion de F1 apporte 4 unités de protéines et 1 unité de fibres, et coûte 2 € ; une portion de F2 apporte 1 unité de protéines et 2 unités de fibres, et coûte 1,50 €. Le repas doit apporter au moins 16 unités de protéines et au moins 11 unités de fibres.
a) Écris les contraintes et le coût z.
b) Détermine les sommets de la région (non bornée).
c) Quelle combinaison coûte le moins cher, et combien coûte-t-elle ?

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $5x + 4y \le 40$ et $x + 4y \le 20$, et l'objectif $z = 3x + 4y$, où x et y sont des nombres entiers d'objets.
a) Détermine le sommet intersection des deux dernières frontières, et la valeur de z en ce sommet.
b) L'arrondi $(5 \,;\, 4)$ de ce sommet est-il admissible ?
c) Quelle est la meilleure solution entière ?

On considère la fonction objectif $z = 2x + 5y$ et la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 4$ et $x + y \le 6$.
a) Écris l'équation de la droite de niveau passant par le point $(5 \,;\, 2)$ et donne son coefficient directeur.
b) Dans quel sens faut-il déplacer les droites de niveau pour faire augmenter z ?
c) En quel sommet de la région z est-il maximal ?

Un producteur fabrique x litres de jus A et y litres de jus B. Un litre de A demande 2 kg de pommes et 1 kg de poires ; un litre de B, 1 kg de pommes et 2 kg de poires. Il dispose de 80 kg de pommes et de 70 kg de poires, et de bouteilles pour au plus 30 litres de jus B. Un litre de A rapporte 3 € et un litre de B 4 €.
a) Écris les contraintes et le bénéfice z.
b) Détermine les cinq sommets de la région admissible.
c) Quelle production maximise le bénéfice, et quel est ce bénéfice ?

Une coopérative mélange x tonnes d'engrais E1 et y tonnes d'engrais E2. Le mélange doit peser au moins 10 tonnes et contenir au moins 2 tonnes de E1. Une tonne de E1 apporte 2 unités d'azote et une tonne de E2 en apporte 5 ; il faut au moins 35 unités d'azote. E1 coûte 400 € la tonne et E2 300 € la tonne.
a) Écris les contraintes et le coût z.
b) Détermine les sommets de la région (non bornée).
c) Quel mélange coûte le moins cher, et combien coûte-t-il ?

Une usine produit chaque jour x lots de type A et y lots de type B. Elle peut produire au plus 8 lots par jour, dont au plus 6 de type A. Un lot A rapporte 3 k€ et un lot B 2 k€. Un client exige que la production du jour rapporte au moins 30 k€.
a) Détermine le chiffre d'affaires maximal que l'usine peut réaliser en une journée.
b) La commande du client est-elle réalisable ?
c) Quelle capacité journalière totale minimale, à la place des 8 lots, rendrait la commande réalisable ?

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 6$, $y \le 5$ et $x + y \le 9$.
a) Détermine ses cinq sommets.
b) Détermine le maximum de $z = 5x + 3y$, puis celui de $z' = 2x + 3y$.
c) Pour $z = px + 3y$ avec $p \ge 0$, pour quelles valeurs de p le maximum est-il atteint en $(6 \,;\, 3)$ ?

On reprend un producteur de jus dont la région admissible est définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y \le 80$, $x + 2y \le 70$ et $y \le 30$, de sommets $(0 \,;\, 0)$, $(40 \,;\, 0)$, $(30 \,;\, 20)$, $(10 \,;\, 30)$ et $(0 \,;\, 30)$. Le bénéfice devient $z = 2x + 4y$.
a) Calcule z en chaque sommet.
b) Explique pourquoi le maximum est atteint en une infinité de points.
c) Combien de productions en nombres entiers de litres réalisent ce bénéfice maximal ?

Une association loue x minibus (8 places, 120 € par jour) et y voitures (4 places, 70 € par jour) pour transporter au moins 40 personnes. Elle dispose de 7 conducteurs au plus.
a) Écris les contraintes et le coût z.
b) Détermine les sommets de la région admissible et la location la moins chère.
c) Si la location d'un minibus passe à 160 €, quelle location est la moins chère ?