Optimisation linéaire et régionnement du plan

Un atelier fabrique x bibliothèques et y bureaux par mois. Une bibliothèque demande 3 m² de bois et 4 heures de travail, et rapporte 80 € ; un bureau demande 2 m² de bois et 6 heures, et rapporte 90 €. L'atelier dispose de 60 m² de bois et de 110 heures de travail.
a) Écris les contraintes et le bénéfice z.
b) Détermine les sommets de la région admissible.
c) Quelle production l'atelier doit-il choisir pour maximiser son bénéfice, et quel est ce bénéfice ?

Pour un repas en collectivité, on combine x portions d'un plat F1 et y portions d'un plat F2. Une portion de F1 apporte 4 unités de protéines et 1 unité de fibres, et coûte 2 € ; une portion de F2 apporte 1 unité de protéines et 2 unités de fibres, et coûte 1,50 €. Le repas doit apporter au moins 16 unités de protéines et au moins 11 unités de fibres.
Quelle combinaison coûte le moins cher, et combien coûte-t-elle ?

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $5x + 4y \le 40$ et $x + 4y \le 20$, et l'objectif $z = 3x + 4y$, où x et y sont des nombres entiers d'objets.
Quelle est la meilleure solution entière ?

On considère la fonction objectif $z = 2x + 5y$ et la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 4$ et $x + y \le 6$.
En quel sommet de la région z est-il maximal ?

Un producteur fabrique x litres de jus A et y litres de jus B. Un litre de A demande 2 kg de pommes et 1 kg de poires ; un litre de B, 1 kg de pommes et 2 kg de poires. Il dispose de 80 kg de pommes et de 70 kg de poires, et de bouteilles pour au plus 30 litres de jus B. Un litre de A rapporte 3 € et un litre de B 4 €.
a) Écris les contraintes et le bénéfice z.
b) Détermine les cinq sommets de la région admissible.
c) Quelle production maximise le bénéfice, et quel est ce bénéfice ?

Une coopérative mélange x tonnes d'engrais E1 et y tonnes d'engrais E2. Le mélange doit peser au moins 10 tonnes et contenir au moins 2 tonnes de E1. Une tonne de E1 apporte 2 unités d'azote et une tonne de E2 en apporte 5 ; il faut au moins 35 unités d'azote. E1 coûte 400 € la tonne et E2 300 € la tonne.
Quel mélange coûte le moins cher, et combien coûte-t-il ?

Une usine produit chaque jour x lots de type A et y lots de type B. Elle peut produire au plus 8 lots par jour, dont au plus 6 de type A. Un lot A rapporte 3 k€ et un lot B 2 k€. Un client exige que la production du jour rapporte au moins 30 k€.
Quelle capacité journalière totale minimale, à la place des 8 lots, rendrait la commande réalisable ?

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 6$, $y \le 5$ et $x + y \le 9$.
Pour $z = px + 3y$ avec $p \ge 0$, pour quelles valeurs de p le maximum est-il atteint en $(6 \,;\, 3)$ ?

On reprend un producteur de jus dont la région admissible est définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y \le 80$, $x + 2y \le 70$ et $y \le 30$, de sommets $(0 \,;\, 0)$, $(40 \,;\, 0)$, $(30 \,;\, 20)$, $(10 \,;\, 30)$ et $(0 \,;\, 30)$. Le bénéfice devient $z = 2x + 4y$.
Combien de productions en nombres entiers de litres réalisent ce bénéfice maximal ?

Une association loue x minibus (8 places, 120 € par jour) et y voitures (4 places, 70 € par jour) pour transporter au moins 40 personnes. Elle dispose de 7 conducteurs au plus.
Si la location d'un minibus passe à 160 €, quelle location est la moins chère ?