Optimisation linéaire et régionnement du plan

Détermine les quatre sommets de la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 5$ et $x + 3y \le 9$.

La région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 5$ et $x + 3y \le 9$ a pour sommets $(0 \,;\, 0)$, $(5 \,;\, 0)$, $(3 \,;\, 2)$ et $(0 \,;\, 3)$. Détermine le maximum de $z = 3x + 5y$ sur cette région et le point où il est atteint.

Détermine les coordonnées du point d'intersection des droites d'équations $3x + 2y = 18$ et $x + 2y = 10$.

Le point $(2 \,;\, 4)$ appartient-il à la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 7$ et $2x + 3y \le 15$ ? Justifie.

On cherche le minimum de $z = 5x + 4y$ sur la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \ge 6$ et $x + 3y \ge 12$. Cette région n'est pas bornée ; ses sommets sont $(0 \,;\, 6)$, $(3 \,;\, 3)$ et $(12 \,;\, 0)$. Détermine ce minimum.

Un boulanger prépare x croissants et y pains. Un croissant utilise 50 g de farine et un pain 300 g ; il dispose de 15 kg de farine. Il doit préparer au moins 60 croissants. Écris les contraintes, en simplifiant celle sur la farine.

On considère $z = 2x + 3y$. Écris l'équation de la droite de niveau passant par le point $(3 \,;\, 2)$, sous la forme $y = mx + p$.

Détermine le maximum de $z = 3x + y$ sur la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 4$ et $x + y \le 6$.

Dans un problème où x et y comptent des objets, la région est définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y \le 8$ et $y \le 3$, et le sommet optimal est $(2{,}5 \,;\, 3)$. Les points entiers $(3 \,;\, 3)$ et $(2 \,;\, 3)$ sont-ils admissibles ?

On considère la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$ et $x + y \ge 6$, et le coût $z = 2x + 3y$. La région n'est pas bornée : ses sommets sont $(6 \,;\, 0)$ et $(0 \,;\, 6)$. Le coût admet-il un maximum sur cette région ? Détermine son minimum.