Optimisation linéaire et régionnement du plan

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1
Le point $(4 \,;\, 1)$ appartient-il au demi-plan défini par $x + 3y \le 8$  ? Justifie.
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On remplace x par 4 et y par 1 : $4 + 3 \times 1 = 7$ .
Comme $7 \le 8$ , l'inéquation est vérifiée.
Oui, le point $(4 \,;\, 1)$ appartient au demi-plan.
2
Le point $(2 \,;\, 5)$ vérifie-t-il l'inéquation $3x + 2y \ge 15$  ? Justifie.
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On calcule $3 \times 2 + 2 \times 5 = 6 + 10 = 16$ .
Comme $16 \ge 15$ , l'inéquation est vérifiée.
Oui, le point vérifie l'inéquation.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On veut représenter le demi-plan $3x + 4y \le 24$ . Détermine les points d'intersection de la droite frontière avec les deux axes, puis indique, à l'aide de l'origine, de quel côté se trouve le demi-plan.
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4
Une pâtissière prépare x tartes et y gâteaux. Une tarte demande 2 heures de travail et un gâteau 3 heures ; elle dispose d'au plus 30 heures. Traduis cette contrainte par une inéquation.
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5
Un artisan vend x tables à 50 € de bénéfice chacune et y chaises à 15 € chacune. Écris le bénéfice z en fonction de x et y, puis calcule-le pour 4 tables et 10 chaises.
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6
Détermine les sommets de la région définie par $x \ge 0$ , $y \ge 0$ et $2x + y \le 6$ .
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7
La région définie par $x \ge 0$ , $y \ge 0$ et $2x + y \le 6$ a pour sommets $(0 \,;\, 0)$ , $(3 \,;\, 0)$ et $(0 \,;\, 6)$ . Calcule $z = 2x + 5y$ en chacun de ces sommets. Où z est-il maximal ?
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8
On veut représenter le demi-plan $y \le 3x$ . Pourquoi l'origine ne peut-elle pas servir de point test ? Utilise le point $(1 \,;\, 0)$ pour trouver le bon côté.
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9
On considère la fonction objectif $z = 4x + 2y$ . Écris la droite de niveau $z = 12$ sous la forme $y = mx + p$ , et donne son coefficient directeur.
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10
Une entreprise fabrique x objets A et y objets B. Un client exige qu'on lui livre au moins 10 objets au total. Traduis cette exigence par une inéquation.
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