Optimisation linéaire et régionnement du plan

Le point $(4 \,;\, 1)$ appartient-il au demi-plan défini par $x + 3y \le 8$ ? Justifie.

Le point $(2 \,;\, 5)$ vérifie-t-il l'inéquation $3x + 2y \ge 15$ ? Justifie.

On veut représenter le demi-plan $3x + 4y \le 24$. Détermine les points d'intersection de la droite frontière avec les deux axes, puis indique, à l'aide de l'origine, de quel côté se trouve le demi-plan.

Une pâtissière prépare x tartes et y gâteaux. Une tarte demande 2 heures de travail et un gâteau 3 heures ; elle dispose d'au plus 30 heures. Traduis cette contrainte par une inéquation.

Un artisan vend x tables à 50 € de bénéfice chacune et y chaises à 15 € chacune. Écris le bénéfice z en fonction de x et y, puis calcule-le pour 4 tables et 10 chaises.

Détermine les sommets de la région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$ et $2x + y \le 6$.

La région définie par $x \ge 0$, $y \ge 0$ et $2x + y \le 6$ a pour sommets $(0 \,;\, 0)$, $(3 \,;\, 0)$ et $(0 \,;\, 6)$. Calcule $z = 2x + 5y$ en chacun de ces sommets. Où z est-il maximal ?

On veut représenter le demi-plan $y \le 3x$. Pourquoi l'origine ne peut-elle pas servir de point test ? Utilise le point $(1 \,;\, 0)$ pour trouver le bon côté.

On considère la fonction objectif $z = 4x + 2y$. Écris la droite de niveau $z = 12$ sous la forme $y = mx + p$, et donne son coefficient directeur.

Une entreprise fabrique x objets A et y objets B. Un client exige qu'on lui livre au moins 10 objets au total. Traduis cette exigence par une inéquation.