Équations différentielles

🟠 Difficile

📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

S'abonner ✨

1
On considère l'équation différentielle $y' = 3y + 12$ sur $\mathbb{R}$ .
a) Détermine la solution constante, puis la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution vérifiant $y(0) = 1$ , et calcule $y(1)$ .
✅ Voir le corrigéoffert
a) Une solution constante vérifie $y' = 0$ , donc $3y + 12 = 0$ et $y = -4$ .
L'équation s'écrit $y' = 3\left(y + 4\right)$ .
En posant $z = y + 4$ , on obtient $z' = 3z$ , dont les solutions sont $z(x) = Ce^{3x}$ .
Donc $y(x) = Ce^{3x} - 4$ , avec $C$ réel quelconque.

b) $y(0) = C - 4 = 1$ donne $C = 5$ .
La solution est $y(x) = 5e^{3x} - 4$ .
$y(1) = 5e^{3} - 4 \approx 5 \times 20{,}086 - 4 \approx 96{,}4$ .
Vérification : $y'(x) = 15e^{3x}$ et $3y + 12 = 15e^{3x} - 12 + 12 = 15e^{3x}$ ✓.
2
Résous $y' = -2y + 10$ avec $y(0) = 2$ .
a) Donne la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution cherchée et sa limite en $+\infty$ .
✅ Voir le corrigéoffert
a) La solution constante vérifie $-2y + 10 = 0$ , soit $y = 5$ .
L'équation s'écrit $y' = -2(y - 5)$ .
En posant $z = y - 5$ : $z' = -2z$ , donc $z(x) = Ce^{-2x}$ .
Les solutions sont $y(x) = Ce^{-2x} + 5$ .

b) $y(0) = C + 5 = 2$ donne $C = -3$ .
La solution est $y(x) = -3e^{-2x} + 5$ .
Quand $x \to +\infty$ , $e^{-2x} \to 0$ , donc $y(x) \to 5$ .
La solution constante 5 est la valeur d'équilibre, atteinte asymptotiquement.
Contrôle : $y'(x) = 6e^{-2x}$ et $-2y + 10 = 6e^{-2x} - 10 + 10 = 6e^{-2x}$ ✓.
Le coefficient $-2$ étant négatif, toutes les solutions convergent vers 5.
L'équilibre est donc stable, contrairement au cas d'un coefficient positif.
3
On considère l'équation $y' = 5y$ avec $y(0) = 3$ .
a) Résous-la.
b) Calcule la valeur exacte de $y(2)$ et détermine pour quel $x$ on a $y(x) = 30$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Résous sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $3y' + 12y = 0$ .
a) Mets-la sous la forme $y' = ay$ et résous.
b) Détermine la solution vérifiant $y(0) = 7$ , puis sa limite en $+\infty$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
On considère l'équation $y' = 4y - 20$ avec $y(0) = 3$ .
a) Détermine la solution.
b) La solution est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Une population évolue selon $P'(t) = 0{,}05\,P(t)$ , avec $P(0) = 2\,000$ .
a) Détermine $P(t)$ .
b) Au bout de combien de temps la population double-t-elle ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Un corps se refroidit selon $T'(t) = -0{,}1\big(T(t) - 20\big)$ , avec $T(0) = 90$ (températures en °C).
a) Détermine $T(t)$ .
b) Quelle est la température au bout de 10 minutes, et vers quelle valeur tend-elle ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
On considère l'équation $y' = -3y$ et la fonction $f(x) = 4e^{-3x}$ .
a) Vérifie que $f$ est bien solution.
b) Détermine toutes les solutions vérifiant $y(1) = 4e^{-3}$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
On considère l'équation $2y' - 5y = 0$ .
a) Résous-la sur $\mathbb{R}$ .
b) Détermine la solution passant par le point $(2 \,;\, 1)$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Une substance radioactive se désintègre selon $N'(t) = -kN(t)$ , avec $N(0) = 500$ et une demi-vie de 8 jours.
a) Détermine $k$ .
b) Donne $N(t)$ et calcule la masse restante au bout de 20 jours.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

🎯 Et maintenant ?

Niveau ExpertContinue à t'entraîner

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Examen du chapitreTeste-toi, noté /20 Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : Calcul intégralOn continue le programme

← Changer de niveau