Équations différentielles

On considère l'équation $2y' - 5y = 0$.
a) Résous-la sur $\mathbb{R}$.
b) Détermine la solution passant par le point $(2 \,;\, 1)$.

On considère l'équation $y' = -3y$ et la fonction $f(x) = 4e^{-3x}$.
a) Vérifie que $f$ est bien solution.
b) Détermine toutes les solutions vérifiant $y(1) = 4e^{-3}$.

Un corps se refroidit selon $T'(t) = -0{,}1\big(T(t) - 20\big)$, avec $T(0) = 90$ (températures en °C).
a) Détermine $T(t)$.
b) Quelle est la température au bout de 10 minutes, et vers quelle valeur tend-elle ?

On considère l'équation différentielle $y' = 3y + 12$ sur $\mathbb{R}$.
a) Détermine la solution constante, puis la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution vérifiant $y(0) = 1$, et calcule $y(1)$.

On considère l'équation $y' = 5y$ avec $y(0) = 3$.
a) Résous-la.
b) Calcule la valeur exacte de $y(2)$ et détermine pour quel $x$ on a $y(x) = 30$.

Résous sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $3y' + 12y = 0$.
a) Mets-la sous la forme $y' = ay$ et résous.
b) Détermine la solution vérifiant $y(0) = 7$, puis sa limite en $+\infty$.

Une substance radioactive se désintègre selon $N'(t) = -kN(t)$, avec $N(0) = 500$ et une demi-vie de 8 jours.
a) Détermine $k$.
b) Donne $N(t)$ et calcule la masse restante au bout de 20 jours.

Une population évolue selon $P'(t) = 0{,}05\,P(t)$, avec $P(0) = 2\,000$.
a) Détermine $P(t)$.
b) Au bout de combien de temps la population double-t-elle ?

On considère l'équation $y' = 4y - 20$ avec $y(0) = 3$.
a) Détermine la solution.
b) La solution est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.

Résous $y' = -2y + 10$ avec $y(0) = 2$.
a) Donne la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution cherchée et sa limite en $+\infty$.