Équations différentielles

🔴 Expert

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

1
Méthode d'Euler. On approche la solution de $y' = y$ avec $y(0) = 1$ sur $[0 \,;\, 1]$ , avec un pas $h = 0{,}5$ .
La solution exacte est $y(x) = e^{x}$ . Compare y2 à la valeur exacte $y(1) = e$ et calcule l'écart.
Voir le corrigéoffert
a) Ici $f(x \,;\, y) = y$ (car $y' = y$ ). La relation d'Euler $y_{n+1} = y_{n} + h f(x_{n} \,;\, y_{n})$ devient :
$y_{n+1} = y_{n} + 0{,}5 \times y_{n} = 1{,}5 \times y_{n}$ .
b) On part de $y0 = 1$ (car $y(0) = 1$ ).
$y1 = 1{,}5 \times y0 = 1{,}5 \times 1 = 1{,}5$ (approximation en $x = 0{,}5$ ).
$y2 = 1{,}5 \times y1 = 1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$ (approximation en $x = 1$ ).
c) La solution exacte $y(x) = e^{x}$ vérifie bien $y' = e^{x} = y$ et $y(0) = e^{0} = 1$ .
La valeur exacte est $y(1) = e^{1} = e \approx 2{,}718$ .
Écart : $e - 2{,}25 \approx 2{,}718 - 2{,}25 \approx 0{,}468$ .
La méthode d'Euler sous-estime ici la vraie valeur ; l'écart est important car le pas $h = 0{,}5$ est grand. Avec un pas plus petit, l'approximation serait meilleure.
2
On considère l'équation différentielle $y' = -0{,}5 y$ .
Quelle est la limite de chaque solution non nulle quand x tend vers $+\infty$ ?
Voir le corrigéoffert
a) C'est une équation $y' = ay$ avec $a = -0{,}5 < 0$ . Les solutions sont $y(x) = C e^{-0{,}5 x}$ .
Comme $a < 0$ , ce sont des courbes exponentielles qui décroissent (en valeur absolue) et forment un faisceau ; elles tendent vers 0.
b) Pour f : $y(0) = C e^{0} = C = 4$ , donc $f(x) = 4 e^{-0{,}5 x}$ .
Vérifions : $f(0) = 4$ ✓ et $f'(x) = -2 e^{-0{,}5 x} = -0{,}5 \times 4 e^{-0{,}5 x} = -0{,}5 f(x)$ .
c) Pour g : $g(2) = C e^{-0{,}5 \times 2} = C e^{-1} = 1$ , donc $C = e^{1} = e$ .
Ainsi $g(x) = e \times e^{-0{,}5 x} = e^{1 - 0{,}5 x}$ .
Vérifions : $g(2) = e^{1 - 1} = e^{0} = 1$ ✓ et $g'(x) = -0{,}5 e^{1 - 0{,}5 x} = -0{,}5g(x)$ .
d) Quand $x \to +\infty$ , $-0{,}5 x \to -\infty$ , donc $e^{-0{,}5 x} \to 0$ .
Toute solution non nulle $y(x) = C e^{-0{,}5 x}$ tend donc vers 0 quand $x \to +\infty$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
S'abonner
Le pack de révision, gratuit
L'essentiel des dix premiers chapitres du programme, en PDF : ce qu'il faut retenir et les questions qui vérifient que c'est acquis. Puis 5 e-mails sur 14 jours, et c'est tout.
Ton adresse e-mail
La classe
J'accepte de recevoir le pack de révision et quelques conseils de méthode par e-mail. Je peux me désinscrire en un clic, et mon adresse ne sera jamais transmise à personne. Politique de confidentialité.
3
On considère l'équation différentielle (E) : $y' = 2y + 3x - 1$ sur ℝ.
Donne toutes les solutions de (E), puis la solution qui vérifie $y(0) = 0$ .
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
4
Croissance. Une culture de bactéries a un effectif N(t) (t en heures) vérifiant $N'(t) = 0{,}2 N(t)$ , avec $N(0) = 500$ .
Calcule l'effectif au bout de 24 heures (arrondi à l'unité).
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
5
Refroidissement. La température T(t) (en °C) d'un liquide, avec t en minutes, vérifie $T'(t) = -0{,}05(T(t) - 20)$ , et $T(0) = 80$ .
Calcule T(10) (arrondi au dixième), et dis de combien le liquide s'est refroidi en 10 minutes.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
6
Méthode d'Euler et solution exacte. On étudie l'équation $y' = -y + 2$ avec $y(0) = 0$ . On approche la solution sur $[0 \,;\, 0{,}5]$ avec un pas $h = 0{,}25$ .
Résous exactement l'équation, calcule la valeur exacte de y(0,5), puis compare à l'approximation y2.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
7
Charge d'un condensateur. Dans un circuit RC alimenté par une source de tension continue E, la tension u(t) aux bornes du condensateur (t en secondes) vérifie $RC u'(t) + u(t) = E$ . On prend $R = 1000$ Ω, $C = 10^{-3} F$ , $E = 5 V$ et $u(0) = 0$ .
Vers quelle valeur tend u(t) quand t tend vers $+\infty$ ? Explique le sens physique de la limite.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
8
Étude théorique. Soit a un réel non nul. On note f la solution de l'équation différentielle $y' = ay$ qui vérifie $f(0) = 1$ .
Soit v un réel fixé. On pose $h(x) = \frac{f(x + v)}{f(v)}$ . Montre que h est solution de $y' = ay$ avec $h(0) = 1$ , et établis l'égalité $f(x + v) = f(x) f(v)$ pour tous réels x et v.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
9
Perfusion. Un patient reçoit un médicament à débit constant de 6 mg par heure, et son organisme en élimine une quantité proportionnelle à celle présente dans le sang. La quantité Q(t), en mg, à l'instant t (en heures) vérifie $Q'(t) = -0{,}3 Q(t) + 6$ , avec $Q(0) = 0$ .
Au bout de combien de temps la quantité atteint-elle 15 mg ? Donne la valeur exacte puis l'arrondi au dixième d'heure.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
10
Méthode d'Euler : influence du pas. On étudie l'équation $y' = 0{,}5 y$ avec $y(0) = 2$ , sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ .
Que gagne-t-on en divisant le pas par deux ? Appuie-toi sur l'écart à la valeur exacte.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

Et maintenant ?

Examen du chapitreTeste-toi, noté /20

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : Calcul intégralOn continue le programme

Le pack de révision, gratuit

L'essentiel des dix premiers chapitres du programme, en PDF : ce qu'il faut retenir et les questions qui vérifient que c'est acquis. Puis 5 e-mails sur 14 jours, et c'est tout.

Partager avec ma classe

Les énoncés de cette page sont gratuits et s'ouvrent sans compte : l'adresse peut être donnée telle quelle, au tableau ou dans l'espace numérique de travail.

← Changer de niveau