Équations différentielles

Refroidissement. La température T(t) (en °C) d'un liquide, avec t en minutes, vérifie T'(t) = −0,05(T(t) − 20), et T(0) = 80.
a) Montre que cette équation s'écrit sous la forme T' = aT + b et précise a et b.
b) Vérifie que la fonction constante égale à 20 est solution de l'équation.
c) Résous l'équation avec la condition T(0) = 80.
d) Calcule T(10) (arrondi au dixième) et interprète le résultat.

Méthode d'Euler. On approche la solution de y' = y avec y(0) = 1 sur [0 ; 1], avec un pas h = 0,5.
a) Rappelle la relation d'Euler y(n+1) = y(n) + h × f(x(n) ; y(n)), puis écris-la précisément pour cette équation.
b) Calcule les valeurs approchées y1 (en x = 0,5) et y2 (en x = 1).
c) La solution exacte est y(x) = e^(x). Compare y2 à la valeur exacte y(1) = e et calcule l'écart.

On considère l'équation différentielle (E) : y' = 2y + 3x − 1 sur ℝ.
a) Cherche une solution particulière de (E) sous la forme d'une fonction affine g(x) = ax + b.
b) Donne toutes les solutions de l'équation homogène associée y' = 2y.
c) Déduis-en toutes les solutions de (E), puis celle qui vérifie y(0) = 0.

Croissance. Une culture de bactéries a un effectif N(t) (t en heures) vérifiant N'(t) = 0,2 N(t), avec N(0) = 500.
a) Résous l'équation différentielle.
b) Détermine le temps de doublement, c'est-à-dire le temps au bout duquel l'effectif a doublé (valeur exacte puis arrondie au centième).
c) Calcule l'effectif au bout de 24 heures (arrondi à l'unité).

On considère l'équation différentielle y' = −0,5 y.
a) Décris l'allure des courbes solutions et donne la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution f dont la courbe passe par le point (0 ; 4).
c) Détermine la solution g dont la courbe passe par le point (2 ; 1).
d) Quelle est la limite de chaque solution non nulle quand x tend vers +∞ ?

Méthode d'Euler et solution exacte. On étudie l'équation y' = −y + 2 avec y(0) = 0. On approche la solution sur [0 ; 0,5] avec un pas h = 0,25.
a) Écris la relation d'Euler pour cette équation et simplifie-la.
b) Calcule les valeurs approchées y1 (en x = 0,25) et y2 (en x = 0,5).
c) Résous exactement l'équation, calcule la valeur exacte de y(0,5), puis compare à l'approximation y2.

Charge d'un condensateur. Dans un circuit RC alimenté par une source de tension continue E, la tension u(t) aux bornes du condensateur (t en secondes) vérifie RC u'(t) + u(t) = E. On prend R = 1000 Ω, C = 10^(−3) F, E = 5 V et u(0) = 0.
a) Montre que l'équation s'écrit u' = au + b et précise a et b.
b) Résous l'équation et détermine u(t).
c) Calcule u(1) puis u(3), arrondis au centième.
d) Vers quelle valeur tend u(t) quand t tend vers +∞ ? Interprète physiquement.

Perfusion. Un patient reçoit un médicament à débit constant de 6 mg par heure, et son organisme en élimine une quantité proportionnelle à celle présente dans le sang. La quantité Q(t), en mg, à l'instant t (en heures) vérifie Q'(t) = −0,3 Q(t) + 6, avec Q(0) = 0.
a) Résous l'équation différentielle et donne Q(t).
b) Calcule la quantité présente au bout de 5 heures (arrondie au dixième).
c) Montre que Q est croissante sur [0 ; +∞[ et détermine sa limite en +∞.
d) Au bout de combien de temps la quantité atteint-elle 15 mg ? Donne la valeur exacte puis l'arrondi au dixième d'heure.

Étude théorique. Soit a un réel non nul. On note f la solution de l'équation différentielle y' = ay qui vérifie f(0) = 1.
a) Montre que la fonction p définie sur ℝ par p(x) = f(x) × f(−x) est constante, et détermine sa valeur.
b) Déduis-en que f ne s'annule jamais sur ℝ.
c) Soit v un réel fixé. On pose h(x) = $\frac{f(x + v)}{f(v)}$. Montre que h est solution de y' = ay et que h(0) = 1, puis conclus que f(x + v) = f(x) f(v) pour tous réels x et v.

Méthode d'Euler : influence du pas. On étudie l'équation y' = 0,5 y avec y(0) = 2, sur l'intervalle [0 ; 1].
a) Résous exactement l'équation et donne la valeur de y(1) arrondie au millième.
b) Applique la méthode d'Euler avec un pas h = 0,5 : calcule y1 et y2.
c) Applique-la avec un pas h = 0,25 : calcule y1, y2, y3 et y4.
d) Compare les deux approximations de y(1) à la valeur exacte. Que constate-t-on ?