Équations différentielles
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Résous l'équation différentielle y' = 3y sur ℝ (donne toutes les solutions).
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L'équation est de la forme y' = ay avec a = 3.
Le cours dit que les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ C e^(ax), avec C une constante réelle.
Donc les solutions sont y(x) = C e^(3x).
Vérification : si y(x) = C e^(3x), alors y'(x) = 3C e^(3x) = 3y(x). ✓
La constante C est indispensable : sans elle on n'aurait qu'une seule solution parmi une infinité. - 2
Résous l'équation différentielle y' = −2y avec la condition initiale y(0) = 5.
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L'équation y' = −2y est de la forme y' = ay avec a = −2.
Les solutions sont y(x) = C e^(−2x).
On utilise y(0) = 5 : y(0) = C e^(0) = C × 1 = C.
Donc C = 5.
Conclusion : y(x) = 5 e^(−2x).
Vérification : y(0) = 5 e^(0) = 5 ✓ et y'(x) = −10 e^(−2x) = −2 × (5 e^(−2x)) = −2y(x). ✓ - 3
Résous sur ℝ l'équation différentielle y' = 4x + 1, c'est-à-dire trouve toutes les fonctions y dont la dérivée vaut 4x + 1.
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Résous l'équation différentielle y' = 0,5y sur ℝ.
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Détermine la solution de l'équation différentielle y' = −y qui vérifie y(0) = 3.
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Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle est solution de l'équation différentielle y' = 5y sur ℝ ? Justifie pour chacune.
f(x) = e^(5x) g(x) = 5 e^(x) h(x) = e^(0,2x)🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Résous l'équation différentielle y' = 3x² − 2x avec la condition y(0) = 1.
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Détermine la solution de l'équation différentielle y' = 0,1y qui vérifie y(0) = 200.
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Vérifie que la fonction y définie sur ℝ par y(x) = 4 e^(−3x) est solution de l'équation différentielle y' + 3y = 0.
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Résous sur ℝ l'équation différentielle y' = e^(x) − sin(x).
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