Équations différentielles

🟢 Facile

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1
Résous l'équation différentielle $y' = 3y$ sur ℝ (donne toutes les solutions).
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L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a = 3$ .
Le cours dit que les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions x ↦ C $e^{ax}$ , avec C une constante réelle.
Donc les solutions sont $y(x) = C e^{3x}$ .
Pour en être sûr : si $y(x) = C e^{3x}$ , alors $y'(x) = 3C e^{3x} = 3y(x)$ .
La constante C est indispensable : sans elle on n'aurait qu'une seule solution parmi une infinité.
2
Résous sur ℝ l'équation différentielle $y' = e^{x} - \sin (x)$ .
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L'équation est du type $y' = f(x)$ : ses solutions sont les primitives de f.
Une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ .
Une primitive de $-\sin (x)$ est cos(x), car (cos)' $(x) = -\sin (x)$ .
Donc les solutions sont $y(x) = e^{x} + \cos (x) + C$ , avec C une constante réelle.
Je vérifie : $y'(x) = e^{x} - \sin (x)$ ✓ (la constante C disparaît en dérivant).
Attention au signe : une primitive de sin(x) serait $-\cos (x)$ , donc une primitive de $-\sin (x)$ est bien $+\cos (x)$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Résous l'équation différentielle $y' = 0{,}5y$ sur ℝ.
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4
Vérifie que la fonction y définie sur ℝ par $y(x) = 4 e^{-3x}$ est solution de l'équation différentielle $y' + 3y = 0$ .
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5
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = -y$ qui vérifie $y(0) = 3$ .
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6
Résous sur ℝ l'équation différentielle $y' = 4x + 1$ , c'est-à-dire trouve toutes les fonctions y dont la dérivée vaut $4x + 1$ .
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7
Résous l'équation différentielle $y' = -2y$ avec la condition initiale $y(0) = 5$ .
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8
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = 0{,}1y$ qui vérifie $y(0) = 200$ .
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9
Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle est solution de l'équation différentielle $y' = 5y$ sur ℝ ? Justifie pour chacune.
$f(x) = e^{5x}$ ; $g(x) = 5 e^{x}$ ; $h(x) = e^{0{,}2x}$
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10
Résous l'équation différentielle $y' = 3x^{2} - 2x$ avec la condition $y(0) = 1$ .
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