Équations différentielles

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1
On considère l'équation $y' = 4y$ avec $y(0) = 2$ . Résous-la, puis calcule la valeur exacte de y(1).
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L'équation $y' = 4y$ a pour solutions $y(x) = C e^{4x}$ .
Condition initiale : $y(0) = C e^{0} = C = 2$ , donc $y(x) = 2 e^{4x}$ .
Vérifions : $y(0) = 2$ ✓ et $y'(x) = 8 e^{4x} = 4 \times 2 e^{4x} = 4y(x)$ .
Calcul de y(1) : $y(1) = 2 e^{4 \times 1} = 2 e^{4}$ .
On laisse le résultat sous forme exacte : $y(1) = 2 e^{4}$ (soit environ 109,2).
2
Résous l'équation différentielle $y' = 2y + 6$ sur ℝ.
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C'est une équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a = 2$ et $b = 6$ .
Étape 1 : solution constante : on cherche y constante, donc $y' = 0$ .
$0 = 2y + 6$ , donc $y = -3$ .
Étape 2, solution générale : on ajoute les solutions de $y' = 2y$ , qui sont C $e^{2x}$ .
Donc $y(x) = C e^{2x} - 3$ .
Vérification : $y'(x) = 2C e^{2x}$ et $2y + 6 = 2(C e^{2x} - 3) + 6 = 2C e^{2x}$ . Les deux sont égaux.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Résous sur ℝ l'équation différentielle $2y' + 6y = 0$ .
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4
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = 2y$ dont la courbe représentative passe par le point $A(1 \,;\, 3)$ .
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5
Résous $y' = -y + 4$ avec $y(0) = 1$ .
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6
Résous l'équation différentielle $y' = \frac{2x}{(x^{2} + 1)}$ sur ℝ, avec la condition $y(0) = 5$ .
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7
Résous l'équation différentielle $y' = 3y - 12$ avec la condition initiale $y(0) = 2$ .
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8
On sait que la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = 7 e^{0{,}4x} - 5$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$ . Détermine les réels a et b.
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9
Méthode d'Euler. On approche la solution de $y' = 2y$ avec $y(0) = 1$ , sur l'intervalle $[0 \,;\, 0{,}6]$ , avec un pas $h = 0{,}2$ .
a) Écris la relation de récurrence donnée par la méthode d'Euler et simplifie-la.
b) Calcule y1, y2 et y3.
c) Résous exactement l'équation et compare y3 à la valeur exacte de y(0,6).
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10
On considère l'équation différentielle (E) : $y' = y + x$ sur ℝ.
a) Vérifie que la fonction g définie par $g(x) = -x - 1$ est solution de (E).
b) Montre qu'une fonction y est solution de (E) si et seulement si la fonction $z = y - g$ est solution de $z' = z$ .
c) Déduis-en toutes les solutions de (E), puis celle qui vérifie $y(0) = 0$ .
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