Calcul intégral

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1
On considère $f(x) = \frac{(2x+1)}{(x^{2}+x+1)}$ .
Calcule l'intégrale de f sur $[0 \,;\, 1]$ , puis la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, 1]$ .
Voir le corrigéoffert
a) Dérivée de $x^{2} + x + 1$ : $(x^{2})$ ' $\mathord{}+ (x)$ ' $\mathord{}+ (1)$ ' $= 2x + 1 + 0 = 2x + 1$ .
b) f est de la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = x^{2} + x + 1$ (strictement positif car son discriminant vaut $1^{2} - 4\times 1\times 1 = -3 < 0$ ). Une primitive est donc $\ln (u) = \ln (x^{2} + x + 1)$ .
c) Intégrale $= [\ln (x^{2} + x + 1)]$ de 0 à $1 = \ln (1 + 1 + 1) - \ln (0 + 0 + 1) = \ln (3) - \ln (1) = \ln (3) \approx 1{,}099$ .
Valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{(1-0)} \times \ln (3) = \ln (3)$ (car l'intervalle a pour longueur 1).
2
On pose I = intégrale de $\frac{1}{x}$ sur $[1 \,;\, 2]$ .
Calcule la valeur exacte de I et vérifie l'encadrement.
Voir le corrigéoffert
a) Sur [1 ; 2], on a 1 ≤ x ≤ 2. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[, donc en inversant les inégalités : $\frac{1}{2}$ ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ $\frac{1}{1}$ = 1.
b) On intègre l'encadrement sur [1 ; 2] (de longueur 2 − 1 = 1) grâce à la propriété d'ordre :
intégrale de $\frac{1}{2}$ ≤ I ≤ intégrale de 1, soit $\frac{1}{2}$ ×(2 − 1) ≤ I ≤ 1×(2 − 1), donc $\frac{1}{2}$ ≤ I ≤ 1.
c) Une primitive de $\frac{1}{x}$ est ln(x). I = ln(2) − ln(1) = ln(2) ≈ 0,693.
Pour en être sûr : $\frac{1}{2}$ = 0,5 ≤ 0,693 ≤ 1. ✓ L'encadrement est respecté.
3
À l'aide d'une intégration par parties, on veut calculer K = intégrale de $x\cdot \sin (x)$ sur $[0 \,;\, \pi ]$ .
Termine le calcul et donne la valeur exacte de K.
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4
On considère $f(x) = x^{2}$ et $g(x) = -x^{2} + 4x$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre les deux courbes.
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5
Pour tout entier $n \ge 0$ , on pose $I_n$ = intégrale de $x^{n}\cdot e^{x}$ sur $[0 \,;\, 1]$ .
Calcule $I_{1}$ puis $I_{2}$ .
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6
On pose I = intégrale de $x\cdot e^{x}$ sur $[0 \,;\, 1]$ et J = intégrale de $x^{2}\cdot e^{x}$ sur $[0 \,;\, 1]$ .
Calcule la valeur exacte de J.
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7
Un mobile se déplace en ligne droite ; sa vitesse à l'instant t (en secondes) est $v(t) = 3t^{2} + 2$ (en m/s), pour t entre 0 et 4.
Vérifie que cette vitesse moyenne est comprise entre la vitesse minimale et la vitesse maximale sur $[0 \,;\, 4]$ .
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8
On considère $f(x) = x^{3}$ et $g(x) = x$ .
Calcule l'aire totale du domaine compris entre les deux courbes sur $[-1 \,;\, 1]$ .
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9
On considère $f(x) = x^{2} - 2x$ .
Calcule l'aire géométrique du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[0 \,;\, 3]$ , et explique la différence avec le b).
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10
On considère la fonction $f(x) = x^{2} - 3x + 2$ .
Calcule l'aire géométrique du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[0 \,;\, 3]$ .
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