Calcul intégral

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1
On considère la fonction f(x) = x² − 3x + 2.
a) Factorise f(x) et détermine son signe sur [0 ; 3].
b) Calcule l'intégrale (aire algébrique) de f sur [0 ; 3].
c) Déduis-en l'aire géométrique du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses sur [0 ; 3].
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a) f(x) = x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) (racines 1 et 2). Le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : f ≥ 0 sur [0 ; 1], f ≤ 0 sur [1 ; 2], f ≥ 0 sur [2 ; 3].
b) Primitive : F(x) = $\frac{x^{3}}{3}$ − $\frac{3x^{2}}{2}$ + 2x.
F(0) = 0.
F(1) = $\frac{1}{3}$ − $\frac{3}{2}$ + 2 = $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{6}$ .
F(2) = $\frac{8}{3}$ − 6 + 4 = $\frac{8}{3}$ − 2 = $\frac{2}{3}$ .
F(3) = 9 − $\frac{27}{2}$ + 6 = 15 − $\frac{27}{2}$ = $\frac{3}{2}$ .
Intégrale sur [0 ; 3] = F(3) − F(0) = $\frac{3}{2}$ .
c) On découpe selon le signe de f :
sur [0 ; 1] : F(1) − F(0) = $\frac{5}{6}$ (positif).
sur [1 ; 2] : F(2) − F(1) = $\frac{2}{3}$ − $\frac{5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ − $\frac{5}{6}$ = − $\frac{1}{6}$ (négatif, on prend $\frac{1}{6}$ ).
sur [2 ; 3] : F(3) − F(2) = $\frac{3}{2}$ − $\frac{2}{3}$ = $\frac{9}{6}$ − $\frac{4}{6}$ = $\frac{5}{6}$ .
Aire = $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{11}{6}$ u.a.
Vérification : l'aire géométrique $\frac{11}{6}$ ≈ 1,83 est supérieure à l'aire algébrique $\frac{3}{2}$ = 1,5, ce qui est logique car une portion négative a été comptée positivement.
2
On pose I = intégrale de x·eˣ sur [0 ; 1] et J = intégrale de x²·eˣ sur [0 ; 1].
a) Par une intégration par parties, montre que I = 1.
b) Par une intégration par parties, exprime J en fonction de I.
c) Déduis-en la valeur exacte de J.
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a) On pose u = x, v' = eˣ, donc u' = 1, v = eˣ.
I = [x·eˣ] de 0 à 1 − intégrale de eˣ sur [0 ; 1] = (1×e − 0) − (e − 1) = e − e + 1 = 1.
b) On pose u = x², v' = eˣ, donc u' = 2x, v = eˣ.
J = [x²·eˣ] de 0 à 1 − intégrale de 2x·eˣ sur [0 ; 1] = (1²×e − 0) − 2×(intégrale de x·eˣ) = e − 2I.
c) Comme I = 1 : J = e − 2×1 = e − 2 ≈ 0,718.
Vérification : x²·eˣ ≥ 0 sur [0 ; 1], donc J doit être positif ; e − 2 ≈ 0,718 > 0. ✓
3
On considère f(x) = x² et g(x) = −x² + 4x.
a) Détermine les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
b) Sur l'intervalle trouvé, précise quelle courbe est au-dessus de l'autre.
c) Calcule l'aire du domaine compris entre les deux courbes.
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4
On considère f(x) = $\frac{(2x+1)}{(x^{2}+x+1)}$ .
a) Vérifie que 2x + 1 est la dérivée de x² + x + 1.
b) Déduis-en une primitive de f.
c) Calcule l'intégrale de f sur [0 ; 1], puis la valeur moyenne de f sur [0 ; 1].
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5
Pour tout entier n ≥ 0, on pose Iₙ = intégrale de xⁿ·eˣ sur [0 ; 1].
a) Calcule I₀.
b) À l'aide d'une intégration par parties, montre que pour n ≥ 1 : Iₙ = e − n·Iₙ₋₁.
c) Calcule I₁ puis I₂.
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6
On pose I = intégrale de $\frac{1}{x}$ sur [1 ; 2].
a) Montre que pour tout x de [1 ; 2] : $\frac{1}{2}$ ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ 1.
b) Déduis-en un encadrement de I.
c) Calcule la valeur exacte de I et vérifie l'encadrement.
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7
On considère f(x) = x³ et g(x) = x.
a) Détermine les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
b) Étudie le signe de f(x) − g(x) sur [−1 ; 1].
c) Calcule l'aire totale du domaine compris entre les deux courbes sur [−1 ; 1].
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8
Un mobile se déplace en ligne droite ; sa vitesse à l'instant t (en secondes) est v(t) = 3t² + 2 (en m/s), pour t entre 0 et 4.
a) La distance parcourue est l'intégrale de v sur [0 ; 4]. Calcule-la.
b) Calcule la vitesse moyenne du mobile sur [0 ; 4].
c) Vérifie que cette vitesse moyenne est comprise entre la vitesse minimale et la vitesse maximale sur [0 ; 4].
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9
À l'aide d'une intégration par parties, on veut calculer K = intégrale de x·sin(x) sur [0 ; π].
a) Précise le choix de u et de v'.
b) Applique la formule d'intégration par parties.
c) Termine le calcul et donne la valeur exacte de K.
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10
On considère f(x) = x² − 2x.
a) Détermine le signe de f(x) sur [0 ; 3].
b) Calcule l'intégrale (aire algébrique) de f sur [0 ; 3].
c) Calcule l'aire géométrique du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses sur [0 ; 3], et explique la différence avec le b).
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