Calcul intégral

🟡 Moyen

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1
Détermine la valeur moyenne de la fonction $f(x) = e^{x}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ .
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Étape 1 — $\mu = \frac{1}{(1-0)}$ × (intégrale de eˣ sur $[0 \,;\, 1]$ ) = intégrale de eˣ sur $[0 \,;\, 1]$ (car la longueur de l'intervalle est 1).
Étape 2 — Une primitive de eˣ est eˣ. Intégrale $= e^{1} - e^{0} = e - 1$ .
Étape 3 — $\mu = e - 1 \approx 1{,}718$ .
2
Calcule l'intégrale de la fonction $f(x) = \frac{1}{(1+x)}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ .
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Étape 1 — Je reconnais la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + x$ et $u' = 1$ . Une primitive de $\frac{1}{(1+x)}$ est $\ln (1 + x)$ (car $1 + x > 0$ sur $[0 \,;\, 1]$ ).
Étape 2 — Intégrale $= \ln (1 + 1) - \ln (1 + 0) = \ln (2) - \ln (1) = \ln (2) - 0$ .
Étape 3 — Résultat : $\ln (2) \approx 0{,}693$ .
3
Détermine la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \cos (x)$ sur l'intervalle $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ .
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4
À l'aide d'une intégration par parties, calcule l'intégrale de $f(x) = \ln (x)$ sur $[1 \,;\, e]$ .
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5
Calcule l'intégrale de la fonction $f(x) = (2x + 1)^{4}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ .
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6
Calcule l'intégrale de la fonction $f(x) = x^{2} + x^{3}$ sur l'intervalle $[-1 \,;\, 1]$ .
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7
Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de $g(x) = x$ et $f(x) = x^{2}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ .
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8
Calcule l'aire géométrique (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f(x) = x^{2} - 4$ et l'axe des abscisses sur $[0 \,;\, 2]$ .
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9
À l'aide d'une intégration par parties, calcule l'intégrale de $f(x) = x\cdot e^{x}$ sur $[0 \,;\, 1]$ .
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10
Calcule l'intégrale de la fonction $f(x) = x^{2} - 4x + 3$ sur l'intervalle $[1 \,;\, 3]$ .
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