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Calcul intégral

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  1. 1

    Calcule l'intégrale de la fonction f(x) = x² − 4x + 3 sur l'intervalle [1 ; 3].

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    Étape 1 — Une primitive est F(x) = x33\frac{x^{3}}{3} − 2x² + 3x.
    Étape 2 — F(3) = 273\frac{27}{3} − 2×9 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0.
    F(1) = 13\frac{1}{3} − 2 + 3 = 13\frac{1}{3} + 1 = 43\frac{4}{3}.
    Étape 3 — Intégrale = F(3) − F(1) = 0 − 43\frac{4}{3} = −43\frac{4}{3}.
    Remarque : le résultat est négatif car f est négative sur [1 ; 3] (entre ses racines 1 et 3) ; c'est une aire algébrique.

  2. 2

    Calcule l'aire géométrique (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de f(x) = x² − 4 et l'axe des abscisses sur [0 ; 2].

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    Étape 1 — Signe : sur [0 ; 2], x² ≤ 4 donc f(x) = x² − 4 ≤ 0. La courbe est sous l'axe.
    Étape 2 — L'aire géométrique vaut la valeur absolue de l'intégrale.
    Une primitive : F(x) = x33\frac{x^{3}}{3} − 4x. F(2) = 83\frac{8}{3} − 8 = 83\frac{8}{3} − 243\frac{24}{3} = −163\frac{16}{3} ; F(0) = 0.
    Intégrale = −163\frac{16}{3}.
    Étape 3 — Aire = |−163\frac{16}{3}| = 163\frac{16}{3} u.a. (environ 5,33).

  3. 3

    Détermine la valeur moyenne de la fonction f(x) = eˣ sur l'intervalle [0 ; 1].

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  4. 4

    À l'aide d'une intégration par parties, calcule l'intégrale de f(x) = x·eˣ sur [0 ; 1].

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  5. 5

    Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de g(x) = x et f(x) = x² sur l'intervalle [0 ; 1].

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  6. 6

    Calcule l'intégrale de la fonction f(x) = (2x + 1)⁴ sur l'intervalle [0 ; 1].

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  7. 7

    À l'aide d'une intégration par parties, calcule l'intégrale de f(x) = ln(x) sur [1 ; e].

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  8. 8

    Détermine la valeur moyenne de la fonction f(x) = cos(x) sur l'intervalle [0 ; π2\frac{\pi }{2}].

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  9. 9

    Calcule l'intégrale de la fonction f(x) = 1(1+x)\frac{1}{(1+x)} sur l'intervalle [0 ; 1].

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  10. 10

    Calcule l'intégrale de la fonction f(x) = x² + x³ sur l'intervalle [−1 ; 1].

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