Primitives

🟠 Difficile

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(x)\sin^{2}(x)$ .
a) Détermine une primitive de $f$ .
b) Calcule $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Voir le corrigéoffert
a) On reconnaît la forme $u'u^{2}$ avec $u = \sin(x)$ et $u' = \cos(x)$ .
Une primitive de $u'u^{2}$ est $\frac{u^{3}}{3}$ .
$F(x) = \frac{\sin^{3}(x)}{3}$ .
Vérification : $F'(x) = \frac{3\sin^{2}(x)\cos(x)}{3} = \cos(x)\sin^{2}(x)$ .

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}$ .
2
On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 3y$ .
a) Donne l'ensemble des solutions de $(E)$ .
b) Détermine la solution qui vérifie $y(0) = 5$ .
Voir le corrigéoffert
a) Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ , avec $C$ réel.
Ici $a = 3$ : les solutions sont $y(x) = Ce^{3x}$ .

b) $y(0) = Ce^{0} = C$ .
La condition $y(0) = 5$ donne $C = 5$ .
La solution est $y(x) = 5e^{3x}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On considère l'équation différentielle $y' = -4y$ avec $y(0) = 7$ .
a) Donne la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution cherchée et calcule $y(1)$ .
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
4
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2xe^{x^{2}}$ .
a) Détermine une primitive de $f$ .
b) Calcule $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$ , en valeur exacte.
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5
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}$ .
a) Détermine une primitive de $f$ sur cet intervalle.
b) Calcule $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ , en valeur exacte.
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6
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$ .
a) Détermine une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
b) Calcule l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$ .
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7
On considère $(E) : y' = -2y + 6$ .
a) Détermine la solution constante de $(E)$ .
b) Donne l'ensemble des solutions de $(E)$ , puis celle qui vérifie $y(0) = 1$ .
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8
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{3}{x} + 4x$ .
a) Détermine la primitive générale de $f$ .
b) Détermine la primitive $F$ telle que $F(1) = 5$ .
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9
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^{2} - 4x + 5$ .
a) Détermine la primitive générale de $f$ .
b) Détermine la primitive $F$ telle que $F(1) = 2$ .
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10
La température d'un liquide qui refroidit vérifie $T'(t) = -0{,}05\big(T(t) - 20\big)$ , où $t$ est en minutes.
a) On pose $u(t) = T(t) - 20$ . Montre que $u$ vérifie $u' = -0{,}05u$ , puis exprime $T(t)$ .
b) La température initiale est $80\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Donne $T(t)$ , puis la température au bout de 30 minutes.
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