Primitives

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^{2} - 4x + 5$.
a) Détermine la primitive générale de $f$.
b) Détermine la primitive $F$ telle que $F(1) = 2$.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2xe^{x^{2}}$.
a) Détermine une primitive de $f$.
b) Calcule $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$, en valeur exacte.

On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 3y$.
a) Donne l'ensemble des solutions de $(E)$.
b) Détermine la solution qui vérifie $y(0) = 5$.

Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}$.
a) Détermine une primitive de $f$ sur cet intervalle.
b) Calcule $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$, en valeur exacte.

On considère $(E) : y' = -2y + 6$.
a) Détermine la solution constante de $(E)$.
b) Donne l'ensemble des solutions de $(E)$, puis celle qui vérifie $y(0) = 1$.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$.
a) Détermine une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
b) Calcule l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$.

La température d'un liquide qui refroidit vérifie $T'(t) = -0{,}05\big(T(t) - 20\big)$, où $t$ est en minutes.
a) On pose $u(t) = T(t) - 20$. Montre que $u$ vérifie $u' = -0{,}05u$, puis exprime $T(t)$.
b) La température initiale est $80\,^{\circ}\mathrm{C}$. Donne $T(t)$, puis la température au bout de 30 minutes.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(x)\sin^{2}(x)$.
a) Détermine une primitive de $f$.
b) Calcule $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{3}{x} + 4x$.
a) Détermine la primitive générale de $f$.
b) Détermine la primitive $F$ telle que $F(1) = 5$.

On considère l'équation différentielle $y' = -4y$ avec $y(0) = 7$.
a) Donne la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution cherchée et calcule $y(1)$.