Primitives et équations différentielles
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Vérifie que la fonction F définie par F(x) = x⁴ est une primitive de f(x) = 4x³ sur ℝ.
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Pour vérifier qu'une fonction F est une primitive de f, on dérive F et on regarde si l'on retrouve f.
F(x) = x⁴ est dérivable sur ℝ et F'(x) = 4x³.
On obtient bien F'(x) = 4x³ = f(x) pour tout x réel.
Donc F est une primitive de f sur ℝ. On dit « une » primitive car F(x) = x⁴ + C conviendrait aussi pour toute constante C. - 2
Détermine une primitive de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x⁵.
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On utilise la règle : une primitive de x^(n) (n entier positif) est .
Ici n = 5, donc n + 1 = 6.
Une primitive est F(x) = .
Vérification : F'(x) = = x⁵ = f(x). ✓
Toutes les primitives s'écrivent F(x) = + C. - 3
Détermine une primitive de f(x) = e^(x) + 3 sur ℝ.
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Détermine une primitive de f(x) = cos(x) sur ℝ, puis donne toutes les primitives de f.
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Détermine une primitive de f(x) = sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
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Soit f(x) = 6x² + 2 sur ℝ. Détermine la primitive F de f qui vérifie F(1) = 5.
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Détermine une primitive de f(x) = sur ]0 ; +∞[.
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Résous l'équation différentielle y' = 3y sur ℝ (donne toutes les solutions).
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Résous l'équation différentielle y' = −2y avec la condition initiale y(0) = 5.
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Détermine une primitive de f(x) = sur ]0 ; +∞[.
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