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Primitives

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  1. 1

    Détermine une primitive de f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos (x) sur ℝ, puis donne toutes les primitives de f.

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    D'après le cours, une primitive de cos(x) est sin(x), car (sin)'(x)=cos⁡(x)(x) = \cos (x).
    Donc F(x)=sin⁡(x)F(x) = \sin (x).
    Je vérifie : F′(x)=cos⁡(x)=f(x)F'(x) = \cos (x) = f(x).
    Toutes les primitives sont F(x)=sin⁡(x)+CF(x) = \sin (x) + C, avec C une constante réelle.

  2. 2

    Détermine une primitive de f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin (x) sur ℝ. Attention au signe.

    Voir le corrigéoffert

    On sait que (cos)'(x)=−sin⁡(x)(x) = -\sin (x) : en dérivant le cosinus, un signe « moins » apparaît.
    Pour retrouver sin(x) en dérivant, il faut donc partir de −cos⁡(x)-\cos (x).
    Donc F(x)=−cos⁡(x)F(x) = -\cos (x).
    Vérification : F′(x)=−(−sin⁡(x))=sin⁡(x)=f(x)F'(x) = -(-\sin (x)) = \sin (x) = f(x).
    Toutes les primitives sont F(x)=−cos⁡(x)+CF(x) = -\cos (x) + C.

  3. 3

    Détermine une primitive de f(x)=1xf(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty [.

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  4. 4

    Détermine une primitive de f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty [.

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  5. 5

    Vérifie que la fonction F définie par F(x)=x4F(x) = x^{4} est une primitive de f(x)=4x3f(x) = 4x^{3} sur ℝ.

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  6. 6

    Détermine une primitive de f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^{2}} sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty [.

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  7. 7

    Détermine une primitive de la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x5f(x) = x^{5}.

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  8. 8

    Détermine une primitive de f(x)=ex+3f(x) = e^{x} + 3 sur ℝ.

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  9. 9

    Détermine une primitive de f(x)=3x2−4x+5f(x) = 3x^{2} - 4x + 5 sur ℝ.

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  10. 10

    Soit f(x)=6x2+2f(x) = 6x^{2} + 2 sur ℝ. Détermine la primitive F de f qui vérifie F(1)=5F(1) = 5.

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