Primitives

🟡 Moyen

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1
Détermine une primitive de $f(x) = \frac{2x}{(x^{2} + 1)}$ sur ℝ.
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On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ , dont une primitive est ln(u) lorsque $u > 0$ .
On pose $u(x) = x^{2} + 1$ , alors $u'(x) = 2x$ , et $u(x) = x^{2} + 1 > 0$ pour tout x.
Une primitive est donc $F(x) = \ln (x^{2} + 1)$ .
Contrôle : $F'(x) = \frac{2x}{(x^{2} + 1)} = f(x)$ .
2
Détermine une primitive de $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ sur ℝ.
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On reconnaît la forme $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ , dont une primitive est $2\sqrt{u}$ (lorsque $u > 0$ ).
On pose $u(x) = x^{2} + 3$ , alors $u'(x) = 2x$ , et $u(x) > 0$ pour tout x.
Une primitive est $F(x) = 2\sqrt{x^{2} + 3}$ .
Pour en être sûr : $F(x) = 2(x^{2} + 3)^{1/2}$ , donc $F'(x) = 2 \times \frac{1}{2} \times 2x \times (x^{2} + 3)^{-1/2} = \frac{2x}{\sqrt{x^{2} + 3}} = f(x)$ .
3
Détermine une primitive de $f(x) = \cos (x) \times (\sin (x))^{2}$ sur ℝ.
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4
Détermine une primitive de $f(x) = \frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)}$ sur ℝ.
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5
Détermine une primitive de $f(x) = (2x + 1)(x^{2} + x)^{3}$ sur ℝ.
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6
Détermine une primitive de $f(x) = 2x e^{x^{2}}$ sur ℝ.
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7
Détermine une primitive de $f(x) = e^{3x}$ sur ℝ.
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8
Détermine une primitive de $f(x) = (2x - 3)^{4}$ sur ℝ.
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9
Soit $f(x) = 2x - 4$ sur ℝ. Détermine la primitive F de f telle que $F(2) = 0$ , puis factorise le résultat.
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10
Soit $f(x) = \frac{1}{x} + e^{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty [$ . Détermine la primitive F de f telle que $F(1) = 2$ .
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