Primitives et équations différentielles
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Détermine une primitive de f(x) = 2x e^(x²) sur ℝ.
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On reconnaît la forme u' e^(u), dont une primitive est e^(u).
On pose u(x) = x², alors u'(x) = 2x.
Ainsi f(x) = u'(x) e^(u(x)) = 2x e^(x²).
Une primitive est donc F(x) = e^(x²).
Vérification : F'(x) = 2x e^(x²) = f(x). ✓
Toutes les primitives : F(x) = e^(x²) + C. - 2
Détermine une primitive de f(x) = (2x + 1)(x² + x)³ sur ℝ.
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On reconnaît la forme u' u³, dont une primitive est .
On pose u(x) = x² + x, alors u'(x) = 2x + 1.
Ainsi f(x) = u'(x) × (u(x))³.
Une primitive est F(x) = .
Vérification : F'(x) = = (2x + 1)(x² + x)³ = f(x). ✓ - 3
Détermine une primitive de f(x) = sur ℝ.
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Résous l'équation différentielle y' = 2y + 6 sur ℝ.
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Résous y' = −y + 4 avec y(0) = 1.
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Détermine une primitive de f(x) = cos(x) × (sin(x))² sur ℝ.
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Détermine une primitive de f(x) = e^(3x) sur ℝ.
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On considère l'équation y' = 4y avec y(0) = 2. Résous-la, puis calcule la valeur exacte de y(1).
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Détermine une primitive de f(x) = sur ℝ.
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Soit f(x) = 2x − 4 sur ℝ. Détermine la primitive F de f telle que F(2) = 0, puis factorise le résultat.
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