Primitives

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1
Soit F la fonction définie sur ℝ par $F(x) = (x^{2} + 1)e^{x}$ .
Détermine ensuite la primitive de g qui s'annule en 0.
Voir le corrigéoffert
a) F est un produit $u \times v$ avec $u(x) = x^{2} + 1 (u'(x) = 2x)$ et $v(x) = e^{x} (v'(x) = e^{x})$ .
$F'(x) = u'v + uv' = 2x e^{x} + (x^{2} + 1)e^{x} = (x^{2} + 2x + 1)e^{x}$ .
On factorise $x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$ , donc $F'(x) = (x + 1)^{2} e^{x}$ .
b) On a montré que $F'(x) = (x^{2} + 2x + 1)e^{x} = g(x)$ .
Donc F est une primitive de g : une primitive de g est $G(x) = (x^{2} + 1)e^{x}$ .
c) On cherche la primitive de la forme $(x^{2} + 1)e^{x} + C$ s'annulant en 0.
En $x = 0$ : $(0 + 1)e^{0} + C = 1 \times 1 + C = 1 + C$ .
On veut $1 + C = 0$ , donc $C = -1$ .
La primitive cherchée est $H(x) = (x^{2} + 1)e^{x} - 1$ .
Je vérifie : $H(0) = 1 - 1 = 0$ ✓ et $H'(x) = (x + 1)^{2} e^{x} = g(x)$ .
2
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = \frac{\cos (x)}{(2 + \sin (x))}$ .
Détermine la primitive de f qui s'annule en $x = 0$ .
Voir le corrigéoffert
a) Pour tout réel x, on sait que $-1 \le \sin (x) \le 1$ .
En ajoutant 2 à chaque membre : $1 \le 2 + \sin (x) \le 3$ .
Donc $2 + \sin (x) \ge 1 > 0$ : le dénominateur est toujours strictement positif, f est définie sur ℝ.
b) On pose $u(x) = 2 + \sin (x)$ , alors $u'(x) = \cos (x)$ .
On reconnaît $f = \frac{u'}{u}$ avec $u > 0$ , dont une primitive est ln(u).
Donc $F(x) = \ln (2 + \sin (x))$ .
Je vérifie : $F'(x) = \frac{\cos (x)}{(2 + \sin (x))} = f(x)$ .
c) On cherche la primitive de la forme $\ln (2 + \sin (x)) + C$ s'annulant en 0.
En $x = 0$ : $\ln (2 + \sin (0)) + C = \ln (2 + 0) + C = \ln (2) + C$ .
On veut $\ln (2) + C = 0$ , donc $C = -\ln (2)$ .
La primitive cherchée est donc x ↦ $\ln (2 + \sin (x)) - \ln (2)$ .
3
On considère la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \frac{(2x - 2)}{(x^{2} - 2x + 2)}$ .
Détermine la primitive de f qui s'annule en $x = 1$ .
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4
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = \frac{2x}{(x^{2} + 1)^{2}}$ .
Détermine la limite de G en $+\infty$ , et dis ce qu'elle signifie pour la courbe de G.
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5
La fonction f est définie par $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$ .
Explique pourquoi on ne peut pas parler d'« une primitive de f sur ℝ ».
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6
Soit f la fonction définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .
Détermine la primitive de f qui s'annule en $x = 1$ , puis la primitive qui vaut 2 en $x = 1$ .
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7
Soit f la fonction définie sur $]-1 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = \frac{(2x + 3)}{(x + 1)}$ .
Détermine la primitive de f qui s'annule en $x = 1$ .
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8
Lecture graphique. Soit f une fonction continue sur $[0 \,;\, 6]$ dont on connaît seulement le signe : $f(x) < 0$ sur $[0 \,;\, 2[$ , $f(2) = 0$ , et $f(x) > 0$ sur $]2 \,;\, 6]$ . On note F la primitive de f sur $[0 \,;\, 6]$ qui vérifie $F(0) = 3$ .
On note G la primitive de f vérifiant $G(0) = 0$ . Exprime G en fonction de F, et dis en quoi leurs variations diffèrent.
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9
Cinématique. Un mobile se déplace sur un axe. Sa vitesse à l'instant t (t en secondes, v en m/s) est $v(t) = 3t^{2} - 12t + 9$ , pour $t \in [0 \,;\, 5]$ . Sa position x(t) (en mètres) est la primitive de v qui vérifie $x(0) = 2$ .
Étudie le sens de variation de x sur $[0 \,;\, 5]$ et calcule x(5).
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10
Coût marginal. Une entreprise produit x objets, avec $x \in [0 \,;\, 40]$ . Son coût marginal, en euros par objet, est $Cm(x) = 0{,}03x^{2} - 0{,}6x + 12$ . Le coût total C est la primitive de Cm qui vérifie $C(0) = 500$ (les 500 € correspondent aux coûts fixes).
a) Détermine C(x).
b) Calcule le coût total de production de 20 objets.
c) Pour quelle production le coût marginal est-il minimal ? Donne ce minimum et dis ce qu'il représente pour l'entreprise.
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