Primitives et équations différentielles

Refroidissement. La température T(t) (en °C) d'un liquide, avec t en minutes, vérifie T'(t) = −0,05(T(t) − 20), et T(0) = 80.
a) Montre que cette équation s'écrit sous la forme T' = aT + b et précise a et b.
b) Vérifie que la fonction constante égale à 20 est solution de l'équation.
c) Résous l'équation avec la condition T(0) = 80.
d) Calcule T(10) (arrondi au dixième) et interprète le résultat.

Méthode d'Euler. On approche la solution de y' = y avec y(0) = 1 sur [0 ; 1], avec un pas h = 0,5.
a) Rappelle la relation d'Euler y(n+1) = y(n) + h × f(x(n) ; y(n)), puis écris-la précisément pour cette équation.
b) Calcule les valeurs approchées y1 (en x = 0,5) et y2 (en x = 1).
c) La solution exacte est y(x) = e^(x). Compare y2 à la valeur exacte y(1) = e et calcule l'écart.

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = $\frac{(2x - 2)}{(x^{2} - 2x + 2)}$.
a) Montre que x² − 2x + 2 > 0 pour tout réel x.
b) Détermine une primitive F de f sur ℝ.
c) Détermine la primitive de f qui s'annule en x = 1.

On considère l'équation différentielle (E) : y' = 2y + 3x − 1 sur ℝ.
a) Cherche une solution particulière de (E) sous la forme d'une fonction affine g(x) = ax + b.
b) Donne toutes les solutions de l'équation homogène associée y' = 2y.
c) Déduis-en toutes les solutions de (E), puis celle qui vérifie y(0) = 0.

Soit F la fonction définie sur ℝ par F(x) = (x² + 1)e^(x).
a) Calcule F'(x) et factorise le résultat.
b) Déduis-en une primitive de la fonction g définie par g(x) = (x² + 2x + 1)e^(x).
c) Détermine ensuite la primitive de g qui s'annule en 0.

Croissance. Une culture de bactéries a un effectif N(t) (t en heures) vérifiant N'(t) = 0,2 N(t), avec N(0) = 500.
a) Résous l'équation différentielle.
b) Détermine le temps de doublement, c'est-à-dire le temps au bout duquel l'effectif a doublé (valeur exacte puis arrondie au centième).
c) Calcule l'effectif au bout de 24 heures (arrondi à l'unité).

La fonction f est définie par f(x) = $\frac{1}{x^{2}}$.
a) Détermine la primitive F de f sur ]0 ; +∞[ telle que F(1) = 0.
b) Détermine la primitive G de f sur ]−∞ ; 0[ telle que G(−1) = 0.
c) Explique pourquoi on ne peut pas parler d'« une primitive de f sur ℝ ».

On considère l'équation différentielle y' = −0,5 y.
a) Décris l'allure des courbes solutions et donne la forme générale des solutions.
b) Détermine la solution f dont la courbe passe par le point (0 ; 4).
c) Détermine la solution g dont la courbe passe par le point (2 ; 1).
d) Quelle est la limite de chaque solution non nulle quand x tend vers +∞ ?

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = $\frac{cos(x)}{(2 + sin(x))}$.
a) Montre que 2 + sin(x) > 0 pour tout réel x (la fonction f est donc définie sur ℝ).
b) Détermine une primitive F de f sur ℝ.
c) Détermine la primitive de f qui s'annule en x = 0.

Méthode d'Euler et solution exacte. On étudie l'équation y' = −y + 2 avec y(0) = 0. On approche la solution sur [0 ; 0,5] avec un pas h = 0,25.
a) Écris la relation d'Euler pour cette équation et simplifie-la.
b) Calcule les valeurs approchées y1 (en x = 0,25) et y2 (en x = 0,5).
c) Résous exactement l'équation, calcule la valeur exacte de y(0,5), puis compare à l'approximation y2.