Agrandissement et réduction

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1
Démontre que l'aire d'une figure est multipliée par $k^2$ lors d'un agrandissement de coefficient $k$ .
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Considérons d'abord un rectangle de dimensions $L$ et $\ell$ : son image a pour dimensions $kL$ et $k\ell$ , donc une aire de $kL \times k\ell = k^2 \times L\ell$ .
Toute figure peut être approchée d'aussi près que l'on veut par une réunion de petits rectangles, et l'aire de chacun est multipliée par $k^2$ .
L'aire totale est donc multipliée par $k^2$ . Le même raisonnement avec de petits cubes donne $k^3$ pour les volumes.
2
Une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, à mi-hauteur. Calcule la fraction du volume total occupée par la petite pyramide.
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La petite pyramide est une réduction de la grande, de coefficient $\dfrac{1}{2}$ puisque la coupe est à mi-hauteur.
Les volumes sont multipliés par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ .
La petite pyramide occupe donc $\dfrac{1}{8}$ du volume total, et le tronc restant en occupe $\dfrac{7}{8}$ : couper à mi-hauteur est très loin de couper en deux.
3
Deux solides semblables ont pour volumes 54 cm³ et 128 cm³. Calcule le rapport de leurs aires.
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4
Sur une carte à l'échelle 1/50 000, un lac occupe 6 cm². Calcule son aire réelle, en kilomètres carrés.
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5
Explique pourquoi un petit animal perd proportionnellement plus de chaleur qu'un grand animal de même forme.
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6
Un réservoir cylindrique est agrandi avec un coefficient 1,2. Calcule les pourcentages d'augmentation de sa surface et de son volume.
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7
Une feuille A4 est agrandie en A3. Calcule le coefficient appliqué aux longueurs et le facteur multiplicateur de l'aire.
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8
Deux triangles sont semblables, le petit étant une réduction du grand de coefficient $\dfrac{2}{3}$ . Le périmètre du grand vaut 42 cm. Calcule celui du petit.
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9
Démontre que le rapport des périmètres de deux figures semblables est égal au rapport de leurs longueurs.
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10
Un ballon de baudruche voit son diamètre doubler. Calcule les facteurs multiplicateurs de la surface de caoutchouc et du volume d'air, puis explique pourquoi il finit par éclater.
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