L'aire des figures usuelles

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1
Un rectangle a un périmètre de 34 cm et une aire de 70 cm². Détermine ses dimensions.
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Le demi-périmètre vaut 17 cm : les deux dimensions ont pour somme 17 et pour produit 70.
On cherche deux nombres de somme 17 et de produit 70 : ce sont 7 et 10, car $7 + 10 = 17$ et $7 \times 10 = 70$ .
Le rectangle mesure donc 10 cm sur 7 cm. On peut aussi résoudre $x(17 - x) = 70$ , soit $x^2 - 17x + 70 = 0$ , de discriminant $289 - 280 = 9$ et de racines 7 et 10.
2
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Démontre qu'il est rectangle, puis calcule son aire de deux façons et déduis-en la hauteur relative à l'hypoténuse.
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$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ : par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en l'angle opposé au côté de 10 cm.
Aire avec les deux côtés de l'angle droit : $\frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm². Avec l'hypoténuse comme base : $\frac{10 \times h}{2} = 24$ .
Donc $5h = 24$ et $h = 4{,}8$ cm. La hauteur issue de l'angle droit mesure 4,8 cm.
3
Une pièce rectangulaire de 6 m sur 5 m est entourée d'une allée de largeur constante $x$ mètres, à l'extérieur. Exprime l'aire de l'allée en fonction de $x$ , puis détermine $x$ pour que cette aire vaille 36 m².
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4
Démontre que la médiane d'un triangle partage celui-ci en deux triangles de même aire.
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5
Un terrain a la forme d'un trapèze de bases 40 m et 24 m, et de hauteur 18 m. On veut le partager en deux parcelles de même aire par un segment parallèle aux bases. Détermine l'aire de chaque parcelle, puis vérifie qu'un partage à mi-hauteur ne convient pas.
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6
Deux rectangles ont la même aire de 36 cm². Le premier mesure 9 cm de long. Détermine la largeur du second s'il mesure 12 cm de long, puis compare les deux périmètres.
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7
Dans un carré de côté 10 cm, on place un point sur un côté à 3 cm d'un sommet, et on le joint aux deux sommets opposés. Calcule l'aire du triangle ainsi formé.
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8
Une mosaïque est formée de carreaux carrés de 4 cm de côté. On veut couvrir un mur de 2,40 m sur 1,80 m. Détermine le nombre de carreaux, puis l'effet sur ce nombre si l'on choisit des carreaux de 8 cm de côté.
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9
Un triangle $ABC$ a une aire de 60 cm². Le point $M$ est le milieu de $[BC]$ et le point $N$ le milieu de $[AM]$ . Calcule l'aire du triangle $ABN$ .
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10
Démontre la formule de l'aire du trapèze à partir de celle du triangle, en traçant une diagonale.
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