Le cercle : périmètre et aire

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1
Une corde est tendue autour de l'équateur terrestre, assimilé à un cercle de 40 000 km. On la rallonge de 1 m et on la répartit régulièrement. Détermine de combien elle se soulève du sol.
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Si le rayon initial vaut $R$ , la corde mesure $2\pi R$ ; après rallongement, $2\pi R + 1 = 2\pi R'$ , donc $R' - R = \frac{1}{2\pi}$ .
$\frac{1}{2 \times 3{,}14} \approx 0{,}159$ m, soit environ 16 cm.
Le résultat ne dépend pas du tout de $R$ : la corde se soulèverait de la même hauteur autour d'une balle de tennis. C'est l'un des résultats les plus contre-intuitifs de la géométrie élémentaire.
2
Un disque de rayon 10 cm est partagé en quatre secteurs d'angles 90°, 120°, 60° et 90°. Calcule l'aire de chaque secteur, au dixième près, et vérifie la somme.
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Aire du disque : $3{,}14 \times 100 = 314$ cm². Chaque degré correspond à $\frac{314}{360} \approx 0{,}872$ cm².
Secteurs : $90 \times 0{,}872 \approx 78{,}5$ cm² ; $120 \times 0{,}872 \approx 104{,}7$ cm² ; $60 \times 0{,}872 \approx 52{,}3$ cm² ; et de nouveau $78{,}5$ cm².
Somme : $78{,}5 + 104{,}7 + 52{,}3 + 78{,}5 = 314$ cm², et les angles font bien $90 + 120 + 60 + 90 = 360$ °.
3
Trois disques identiques de rayon 2 cm sont posés dans un rectangle, côte à côte et tangents entre eux et aux bords. Détermine les dimensions du rectangle, puis la proportion de sa surface couverte par les disques.
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4
Un secteur circulaire de rayon 10 cm a une aire de 52,3 cm². Détermine son angle au centre et la longueur de son arc, au dixième près.
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5
On veut fabriquer un cône en roulant un secteur de disque de rayon 12 cm. Le cercle de base du cône doit avoir un rayon de 4 cm. Détermine l'angle du secteur à découper.
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6
Un disque de rayon $R$ a la même aire que la somme de deux disques de rayons 6 cm et 8 cm. Détermine $R$ .
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7
Une roue de rayon 35 cm tourne à raison de 60 tours par minute. Calcule la vitesse du véhicule en mètres par seconde, puis en kilomètres par heure, au dixième près.
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8
Un jardin circulaire de 12 m de diamètre est entouré d'une allée de 1,5 m de large. Calcule l'aire de l'allée, au dixième près.
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9
Compare l'aire d'un carré de côté 10 cm et celle du disque de même périmètre, et conclus.
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10
Une horloge a une grande aiguille de 15 cm. Calcule la distance parcourue par son extrémité en 20 minutes, puis en 3 heures, au dixième près.
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