Le cercle trigonométrique et les radians

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1
Démontre que la longueur d'un arc de cercle de rayon $R$ intercepté par un angle au centre $\theta$ exprimé en radians vaut $R\theta$ .
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La longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre : un tour complet, d'angle $2\pi$ radians, correspond à la circonférence entière, qui vaut $2\pi R$ .
Par proportionnalité, un angle $\theta$ correspond donc à une longueur $\dfrac{\theta}{2\pi} \times 2\pi R$ .
Après simplification, cette longueur vaut $R\theta$ . Le coefficient de proportionnalité est donc simplement le rayon, ce qui n'a lieu qu'en radians.
2
Détermine la mesure principale de l'angle $-\dfrac{23\pi}{6}$ .
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On ajoute des tours complets jusqu'à atteindre l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ .
$-\dfrac{23\pi}{6} + 2\pi = -\dfrac{23\pi - 12\pi}{6} = -\dfrac{11\pi}{6}$ , puis $-\dfrac{11\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{\pi}{6}$ .
La mesure principale vaut donc $\dfrac{\pi}{6}$ , et l'on a ajouté deux tours complets.
3
Résous l'équation $2\cos(x) + 1 = 0$ sur l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ .
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4
Démontre que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)$ en utilisant une rotation.
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5
Un pendule de 80 cm de longueur décrit un arc de 24 cm. Calcule l'angle correspondant, en radians puis en degrés arrondis au centième.
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6
Donne les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$ et de $\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$ .
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7
Résous l'équation $\sin(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ .
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8
Explique pourquoi les points associés à $x$ et à $x + 2k\pi$ , pour tout entier $k$ , sont confondus sur le cercle trigonométrique.
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9
Une roue de 35 cm de rayon effectue 5 tours sans glisser. Calcule la distance parcourue, arrondie au centimètre.
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10
Démontre, à l'aide du cercle trigonométrique, que $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ pour tout réel $x$ .
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