Les chaînes de Markov

🟠 Difficile

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1
Détermine l'état stable de la chaîne de matrice de transition $\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ .
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On cherche une distribution de la forme $\begin{pmatrix} x & 1-x \end{pmatrix}$ qui ne change pas.
La première coordonnée du produit vaut $0{,}9x + 0{,}2(1-x) = 0{,}7x + 0{,}2$ , et on l'égale à $x$ .
On obtient $0{,}2 = 0{,}3x$ , donc $x = \dfrac{2}{3}$ .
L'état stable est $\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$ : à long terme, deux tiers de la population est dans le premier état.
2
Une chaîne a pour matrice $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$ et part de l'état $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Calcule la distribution après trois étapes.
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Après une étape : $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ .
Après deux étapes : $0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}25 = 0{,}375$ , et donc $\begin{pmatrix} 0{,}375 & 0{,}625 \end{pmatrix}$ .
Après trois étapes : $0{,}375 \times 0{,}5 + 0{,}625 \times 0{,}25 = 0{,}34375$ , soit $\begin{pmatrix} 0{,}34375 & 0{,}65625 \end{pmatrix}$ .
Les valeurs se rapprochent peu à peu de l'état stable, qui vaut ici un tiers et deux tiers.
3
Explique pourquoi, pour certaines chaînes, la distribution de départ n'a aucune influence sur la répartition obtenue à long terme.
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4
Une chaîne possède deux états, dont le second est absorbant, et l'on peut toujours passer du premier au second. Décris son comportement à long terme.
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5
Détermine l'état stable de la chaîne de matrice $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ .
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6
Chaque jour, un vélo en libre-service se trouve soit à la gare, soit au centre-ville. S'il est à la gare, il y reste le lendemain avec une probabilité de $0{,}4$ . S'il est au centre-ville, il va à la gare avec une probabilité de $0{,}3$ . Écris la matrice de transition, puis détermine l'état stable.
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7
Explique pourquoi une distribution de probabilité reste de somme 1 après multiplication par une matrice de transition.
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8
Une chaîne possède trois états. Depuis le premier, on va au deuxième à coup sûr. Depuis le deuxième, on va au troisième à coup sûr. Depuis le troisième, on revient au premier à coup sûr. Écris sa matrice de transition et décris son comportement.
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9
Explique comment obtenir une valeur approchée de l'état stable d'une chaîne sans résoudre d'équation.
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10
Détermine la probabilité d'être dans le premier état après deux étapes, pour la matrice $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ , en partant du premier état.
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