Les chaînes de Markov

🟡 Moyen

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Matrices, graphes et chaînes de Markov ».

1
Une chaîne à 2 états a pour matrice de transition $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et pour distribution initiale $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Détermine la distribution après une étape.
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On multiplie la distribution, écrite en ligne, par la matrice.
Le premier terme vaut $1 \times 0{,}8 + 0 \times 0{,}3 = 0{,}8$ , et le second $1 \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}7 = 0{,}2$ .
La distribution après une étape est $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$ .
Comme on partait du premier état avec certitude, on retrouve simplement la première ligne de la matrice.
2
Chaque mois, 10 % des abonnés d'un service le quittent, et 20 % des personnes non abonnées s'abonnent. Écris la matrice de transition en plaçant l'état « abonné » en premier.
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Depuis l'état abonné : on reste abonné avec une probabilité de $0{,}9$ , et on part avec $0{,}1$ .
Depuis l'état non abonné : on s'abonne avec $0{,}2$ , et on reste non abonné avec $0{,}8$ .
La matrice est $\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ , et chaque ligne a bien pour somme 1.
3
Explique pourquoi ce sont les lignes d'une matrice de transition qui ont pour somme 1, et non les colonnes.
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4
Explique ce que représentent les coefficients du carré d'une matrice de transition.
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5
Une distribution initiale vaut $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Explique la situation qu'elle décrit.
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6
Avec la matrice $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et la distribution initiale $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ , détermine la distribution après deux étapes.
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7
Donne la définition d'un état stable pour une chaîne de Markov.
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8
Vérifie que la distribution $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ est stable pour la matrice $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ .
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9
Explique ce que décrit une ligne d'une matrice de transition.
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10
Indique ce qu'il faut vérifier pour s'assurer qu'un tableau de nombres est bien une matrice de transition.
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