Les chaînes de Markov

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1
Démontre par récurrence que la distribution après $n$ étapes s'obtient en multipliant la distribution initiale par la puissance d'exposant $n$ de la matrice de transition.
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Au rang 0, la puissance d'exposant 0 est la matrice identité, et le produit redonne la distribution initiale : la propriété est vraie.
Supposons-la vraie au rang $n$ . La distribution au rang $n$ vaut alors le produit de la distribution initiale par la puissance d'exposant $n$ .
Pour passer au rang suivant, on multiplie encore une fois par la matrice, ce qui donne le produit de la distribution initiale par la puissance d'exposant $n+1$ , grâce à l'associativité.
La propriété est donc héréditaire, et vraie pour tout entier naturel $n$ .
2
Démontre que le produit de deux matrices de transition est encore une matrice de transition.
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Les coefficients du produit sont des sommes de produits de nombres compris entre 0 et 1, donc ils sont positifs.
Calculons la somme d'une ligne du produit : elle vaut la somme, sur toutes les colonnes, des produits des coefficients de la ligne de la première matrice par ceux de la seconde.
En regroupant autrement, cela revient à additionner, pour chaque état intermédiaire, le coefficient correspondant multiplié par la somme d'une ligne de la seconde matrice, qui vaut 1.
On retrouve donc la somme d'une ligne de la première matrice, c'est-à-dire 1 : chaque coefficient est bien compris entre 0 et 1, et chaque ligne a pour somme 1.
3
Pour la matrice de transition $\begin{pmatrix} 1-a & a \\ b & 1-b \end{pmatrix}$ , où $a$ et $b$ sont strictement compris entre 0 et 1, détermine l'état stable en fonction de $a$ et de $b$ .
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4
Démontre que la chaîne de matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ne converge pas, bien qu'elle possède un état stable.
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5
Une chaîne possède trois états, dont le troisième est absorbant. Depuis le premier, on va au deuxième avec une probabilité de $0{,}5$ et au troisième avec $0{,}5$ . Depuis le deuxième, on reste sur place avec $0{,}5$ et on va au troisième avec $0{,}5$ . Détermine la répartition limite.
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6
Explique pourquoi un état stable d'une chaîne de Markov ne signifie pas que plus rien ne bouge.
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7
Démontre qu'une matrice de transition ne peut jamais être inversible lorsqu'elle possède deux lignes identiques, et interprète ce résultat.
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8
Un moteur de recherche classe des pages web en imaginant un visiteur qui suit les liens au hasard. Explique pourquoi l'état stable de la chaîne correspondante mesure l'importance des pages.
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9
Une population se répartit entre trois villes. Chaque année, chacun reste sur place avec une probabilité de $0{,}8$ et se répartit équitablement entre les deux autres villes sinon. Détermine l'état stable et justifie le résultat sans calcul.
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10
Explique ce que l'hypothèse d'absence de mémoire fait perdre à un modèle, et donne une situation où elle est mal adaptée.
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