La décomposition en facteurs premiers

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1
Montre que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.
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Supposons $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ avec la fraction irréductible.
Alors $a^2 = 2b^2$ .
Dans la décomposition de $a^2$ , l'exposant de 2 est pair, puisque chaque facteur de $a$ y apparaît deux fois.
Dans celle de $2b^2$ , l'exposant de 2 est impair : un de plus que le double de celui de $b$ .
Un même nombre ne peut pas avoir un exposant à la fois pair et impair pour le facteur 2, puisque la décomposition est unique.
La supposition est donc absurde : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
2
Combien de diviseurs a $2^{10}$ ? Et combien en a $2^a \times 3^b \times 5^c$ ?
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Pour $2^{10}$ : un diviseur s'écrit $2^k$ avec $k$ de 0 à 10, soit 11 diviseurs.
Pour $2^a \times 3^b \times 5^c$ : chaque exposant se choisit indépendamment, soit $(a+1)(b+1)(c+1)$ diviseurs.
La règle générale : on ajoute 1 à chaque exposant, puis on multiplie.
3
Montre que le produit du PGCD et du plus petit multiple commun de deux entiers vaut le produit de ces entiers.
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4
Trouve le plus petit entier ayant exactement 10 diviseurs.
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5
Par quel plus petit entier faut-il multiplier 1 176 pour obtenir un cube parfait ?
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6
Un entier a 15 diviseurs. Peut-il ne pas être un carré parfait ?
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7
Combien de zéros terminent le produit des entiers de 1 à 20 ?
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8
Deux entiers ont pour décompositions $2^3 \times 3 \times 5^2$ et $2 \times 3^4 \times 7$ . Sont-ils premiers entre eux ?
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9
Montre que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
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10
Trouve tous les entiers dont la décomposition s'écrit $p \times q$ avec $p$ et $q$ premiers distincts, et qui sont inférieurs à 30.
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