Les fonctions de référence

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1
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontre que $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$ , et précise le cas d'égalité.
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On réduit au même dénominateur : $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab}$ .
Le numérateur est un carré, donc positif ou nul, et le dénominateur est strictement positif : le quotient est positif ou nul.
Donc $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2$ , avec égalité si et seulement si $a = b$ .
2
Étudie le nombre de solutions de l'équation $x^2 = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ , puis résous-la.
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Sur $]0\,;\,+\infty[$ , on peut multiplier les deux membres par $x$ , qui est non nul : l'équation devient $x^3 = 1$ .
La fonction cube étant strictement croissante, elle ne prend la valeur $1$ qu'une seule fois : il y a donc exactement une solution.
Comme $1^3 = 1$ , cette solution est $x = 1$ ; c'est le point où la parabole et l'hyperbole se croisent.
3
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ . Détermine son minimum et l'abscisse où il est atteint, puis démontre-le.
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4
Démontre que pour tout réel $x$ positif, $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$ , puis déduis-en le comportement de cette différence quand $x$ devient très grand.
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5
On veut ranger $x$ , $x^2$ , $x^3$ et $\sqrt{x}$ du plus petit au plus grand, pour un réel $x$ strictement positif. Discute selon la position de $x$ par rapport à $1$ .
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6
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontre que $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}$ .
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7
Résous l'inéquation $\dfrac{1}{x} \geqslant x$ en discutant le signe de $x$ .
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8
Démontre que pour tout réel $x$ positif, $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x + 1}{2}$ , et précise le cas d'égalité.
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9
Un nombre positif et sa racine carrée ont pour somme 6. Détermine ce nombre.
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10
Démontre que la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ , puis explique pourquoi elle ne l'est pas sur l'ensemble de ses deux intervalles réunis.
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