Le périmètre

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1
Un rectangle a un périmètre de 40 cm. Exprime son aire en fonction de sa largeur $x$ , puis détermine la largeur qui rend l'aire maximale.
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Le demi-périmètre vaut 20 cm, donc la longueur vaut $20 - x$ et l'aire $A(x) = x(20 - x)$ , pour $x$ entre 0 et 20.
Cette expression s'annule en 0 et en 20 ; son maximum est atteint au milieu, en $x = 10$ .
La largeur cherchée vaut 10 cm, et l'aire maximale $100$ cm² : c'est le carré. Le périmètre ne détermine donc pas l'aire, mais il la borne.
2
Un triangle a pour côtés 7 cm, 9 cm et $x$ cm. Détermine les valeurs possibles de $x$ , puis l'intervalle dans lequel se trouve le périmètre.
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Un côté est toujours plus petit que la somme des deux autres : $x < 7 + 9 = 16$ , et aussi $7 < 9 + x$ donc $x > -2$ , et $9 < 7 + x$ donc $x > 2$ .
Ainsi $2 < x < 16$ .
Le périmètre vaut $16 + x$ , donc il est strictement compris entre 18 cm et 32 cm. Les bornes sont exclues : si $x$ valait 16, les trois points seraient alignés et il n'y aurait plus de triangle.
3
Une figure est obtenue en retirant à un carré de côté 10 cm quatre petits carrés de côté 2 cm, un dans chaque coin. Calcule le périmètre de la figure obtenue et compare à celui du carré.
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4
Un fil de 1 m est utilisé pour former successivement un carré, puis un triangle équilatéral, puis un hexagone régulier. Calcule le côté de chaque figure, au millimètre près, et range les aires dans l'ordre croissant sans les calculer.
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5
Une figure en escalier est formée de marches successives. Elle part du coin inférieur gauche d'un rectangle de 12 cm sur 8 cm et rejoint le coin supérieur droit par un chemin qui ne va que vers la droite ou vers le haut. Démontre que la longueur de ce chemin ne dépend pas du nombre de marches.
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6
Un rectangle a des dimensions entières et un périmètre de 24 cm. Détermine toutes les dimensions possibles, et celle qui donne l'aire la plus petite.
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7
Une pièce rectangulaire mesure 5 m sur 4 m. On veut poser une frise à mi-hauteur sur les quatre murs, en contournant une porte de 85 cm et deux fenêtres de 1,20 m chacune. Calcule la longueur de frise, en mètres.
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8
Deux rectangles ont le même périmètre. Le premier mesure 9 cm sur 3 cm, et le second a une longueur de 10 cm. Détermine la largeur du second, puis compare les deux aires.
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9
On range bout à bout $n$ carrés identiques de côté 1 cm, en ligne. Exprime le périmètre de la bande obtenue en fonction de $n$ , puis détermine $n$ pour que le périmètre vaille 42 cm.
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10
Un terrain carré de 30 m de côté est partagé en quatre parcelles carrées identiques par deux allées perpendiculaires passant par le centre. Calcule le périmètre total des quatre parcelles, puis l'écart avec le périmètre du terrain.
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