Les puissances

Par définition, $a^m$ est le produit de $m$ facteurs égaux à $a$, et $a^n$ celui de $n$ facteurs.
Leur produit est donc le produit de $m + n$ facteurs égaux à $a$, c'est-à-dire $a^{m+n}$.
La règle n'est pas une convention : c'est une conséquence directe de la définition, et c'est elle qui oblige à poser $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ pour que l'égalité reste vraie avec des exposants quelconques.

Pour que la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ continue de valoir.
Si l'on veut $a^n \times a^{-n} = a^0 = 1$, alors $a^{-n}$ doit être l'inverse de $a^n$.
La définition est donc imposée par la cohérence, et non choisie librement.
C'est le même raisonnement que pour $a^0 = 1$.