Les volumes

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1
Une boule a un volume de 2 143,57 cm³. Calcule son rayon, au dixième près.
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De $\frac{4}{3}\pi r^3 = 2\,143{,}57$ on tire $r^3 = \frac{3 \times 2\,143{,}57}{4 \times 3{,}14} = \frac{6\,430{,}71}{12{,}56} \approx 512$ .
Or $8^3 = 512$ .
Le rayon vaut donc environ 8 cm. Contrôle : $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 512 \approx 2\,143{,}6$ cm³.
2
Un verre conique de rayon 4 cm et de hauteur 12 cm est rempli jusqu'à mi-hauteur. Détermine la proportion du verre qui est remplie.
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À mi-hauteur, le liquide forme un cône semblable au verre, de rapport de réduction $\frac{1}{2}$ : son rayon vaut 2 cm et sa hauteur 6 cm.
Les volumes sont dans le rapport $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ .
Le verre n'est donc rempli qu'au huitième, et non à moitié. C'est pourquoi un verre conique paraît se vider très vite au début.
3
Un pavé droit a un volume de 360 cm³ et des dimensions entières en centimètres, toutes différentes et supérieures à 1. Détermine trois triplets possibles.
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4
Une sphère est inscrite dans un cube d'arête 10 cm, c'est-à-dire tangente aux six faces. Calcule la proportion du cube occupée par la boule, en pourcentage au dixième près.
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5
Un réservoir a la forme d'un cylindre de rayon 50 cm surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 60 cm. La partie cylindrique mesure 1,20 m de haut. Calcule la contenance totale en litres, à l'unité près.
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6
Deux solides semblables ont des volumes de 54 cm³ et 128 cm³. Détermine le rapport de leurs longueurs, puis celui de leurs aires.
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7
Une piscine a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze : elle mesure 10 m de long, 4 m de large, 1 m de profondeur du côté peu profond et 2 m de l'autre, la pente étant régulière. Calcule son volume.
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8
Un cylindre et une boule ont le même rayon $r$ , et le cylindre a une hauteur égale à son diamètre. Démontre que le volume de la boule vaut les deux tiers de celui du cylindre.
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9
Un bloc de glace cubique de 20 cm d'arête fond et se transforme en eau, dont le volume est inférieur de 9 % à celui de la glace. Calcule le volume d'eau obtenu, puis la hauteur atteinte dans un récipient cylindrique de rayon 10 cm, au dixième près.
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10
Un cône de hauteur 15 cm est coupé par un plan parallèle à sa base, à 5 cm du sommet. Détermine la proportion du volume située au-dessus du plan, puis celle du tronc restant.
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