Les nombres premiers

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1
Montre qu'il n'existe pas trois nombres premiers consécutifs impairs au-delà de 3, 5, 7.
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Parmi trois nombres impairs consécutifs, l'un est forcément un multiple de 3.
En effet, trois impairs consécutifs s'écrivent $2n+1$ , $2n+3$ , $2n+5$ , et leurs restes modulo 3 parcourent les trois valeurs possibles.
Ce multiple de 3 n'est premier que s'il vaut 3 lui-même.
Le seul triplet possible est donc 3, 5, 7.
2
Montre que tout nombre premier supérieur à 3 s'écrit $6k + 1$ ou $6k - 1$ .
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Tout entier s'écrit sous l'une des formes $6k$ , $6k \pm 1$ , $6k \pm 2$ , $6k + 3$ .
$6k$ , $6k \pm 2$ sont pairs ; $6k + 3$ est multiple de 3.
Aucun de ceux-là n'est premier au-delà de 3.
Il ne reste que $6k + 1$ et $6k - 1$ .
Attention : la réciproque est fausse. $25 = 6 \times 4 + 1$ n'est pas premier.
3
Combien de nombres premiers y a-t-il entre 90 et 100 ?
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4
Montre que si $n$ n'est pas premier, il admet un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ .
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5
Trouve le plus petit nombre ayant exactement trois diviseurs premiers distincts.
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6
La conjecture de Goldbach affirme que tout entier pair supérieur à 2 est somme de deux nombres premiers. Vérifie-la pour 48 et 100.
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7
Deux nombres sont premiers entre eux. Leur somme et leur produit peuvent-ils avoir un diviseur commun autre que 1 ?
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8
Montre que $n^2 - 1$ n'est jamais premier pour $n > 2$ .
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9
Combien de nombres premiers divisent le produit des entiers de 1 à 12 ?
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10
Un nombre premier $p$ divise $a \times b$ . Que peut-on en déduire, et pourquoi est-ce faux pour un nombre non premier ?
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