Parallèles et perpendiculaires

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1
Démontre que si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles, en raisonnant par l'absurde.
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Supposons que $(d_1)$ et $(d_2)$ , toutes deux perpendiculaires à $(d)$ , se coupent en un point $M$ .
Alors par le point $M$ passeraient deux droites distinctes perpendiculaires à $(d)$ , à savoir $(d_1)$ et $(d_2)$ .
Or par un point donné il ne passe qu'une seule perpendiculaire à une droite donnée : contradiction. Les deux droites ne peuvent donc pas se couper, elles sont parallèles.
2
Dans un repère, une droite passe par $(1\,;\,2)$ et $(4\,;\,8)$ . Détermine si la droite passant par $(0\,;\,1)$ et $(2\,;\,5)$ lui est parallèle, en comparant les directions.
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Première droite : de $(1\,;\,2)$ à $(4\,;\,8)$ , on avance de 3 et l'on monte de 6, soit une montée de 2 pour 1 d'avance.
Seconde droite : de $(0\,;\,1)$ à $(2\,;\,5)$ , on avance de 2 et l'on monte de 4, soit également 2 pour 1.
Les deux directions sont identiques : les droites sont parallèles. Elles sont distinctes, puisque $(0\,;\,1)$ ne vérifie pas la première direction depuis $(1\,;\,2)$ .
3
Démontre que le segment perpendiculaire est le plus court chemin d'un point à une droite.
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4
On trace deux droites parallèles et deux sécantes qui les coupent. Détermine le nombre de points d'intersection obtenus, en distinguant les cas selon la position des deux sécantes.
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5
Explique pourquoi la propriété « deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles » reste vraie si les deux droites sont confondues, et pourquoi il faut le préciser.
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6
Un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles. Démontre que ses angles opposés sont égaux.
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7
On veut tracer une parallèle à une droite à l'aide d'une règle et d'un compas seulement, sans équerre. Décris une méthode et justifie-la.
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8
Trois droites deux à deux sécantes forment un triangle. Détermine ce qui se passe si l'on remplace l'une d'elles par une parallèle à une autre.
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9
Sur un quadrillage, deux droites ont pour directions « 2 à droite, 3 en haut » et « 3 à droite, 2 en haut ». Détermine si elles sont perpendiculaires, et explique le critère utilisé.
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10
Explique pourquoi l'unicité de la parallèle passant par un point extérieur ne se démontre pas à partir des autres propriétés, et ce que cela a changé dans l'histoire des mathématiques.
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