PGCD et fraction irréductible

🟠 Difficile

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1
Calcule le PGCD de 2 310 et 1 365 par l'algorithme d'Euclide.
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$2\,310 = 1 \times 1\,365 + 945$ .
$1\,365 = 1 \times 945 + 420$ .
$945 = 2 \times 420 + 105$ .
$420 = 4 \times 105 + 0$ .
Le PGCD vaut 105.
2
Montre que $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux pour tout entier $n$ .
Voir le corrigéoffert
Soit $d$ un diviseur commun à $n$ et $n+1$ .
Alors $d$ divise leur différence : $(n+1) - n = 1$ .
Donc $d = 1$ .
Le PGCD vaut 1 : deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.
3
Calcule le PGCD de $2n$ et $2n+2$ en fonction de $n$ .
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4
Le PGCD de deux nombres vaut 12 et leur produit 864. Quel est leur PPCM ?
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5
Un jardinier a 182 tulipes et 273 jonquilles. Il veut faire des bouquets identiques en utilisant tout. Quel est le plus grand nombre de bouquets ?
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6
Rends la fraction $\frac{1\,071}{1\,155}$ irréductible.
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7
Pourquoi l'algorithme d'Euclide se termine-t-il toujours ?
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8
Trouve deux nombres dont le PGCD vaut 6 et la somme 60.
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9
La fraction $\frac{2n+1}{3n+2}$ est-elle toujours irréductible ?
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10
Calcule le PGCD de 1 000 et 625.
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