PGCD et fraction irréductible

On raisonne sur chaque facteur premier $p$. Notons $\alpha$ et $\beta$ ses exposants dans les deux nombres.
Dans le PGCD, l'exposant de $p$ est le minimum de $\alpha$ et $\beta$ ; dans le PPCM, c'est le maximum.
Or la somme du minimum et du maximum vaut toujours $\alpha + \beta$, c'est-à-dire l'exposant de $p$ dans le produit des deux nombres.
Comme cela vaut pour chaque facteur premier, et que la décomposition est unique, l'égalité est démontrée.
Exemple : pour 12 et 18, PGCD 6, PPCM 36, et $6 \times 36 = 216 = 12 \times 18$.

Supposons que $\frac{a}{d}$ et $\frac{b}{d}$ aient un diviseur commun $k > 1$.
Alors $kd$ divise $a$ et $b$ : c'est un diviseur commun strictement plus grand que $d$.
Cela contredit le fait que $d$ est le plus grand.
Donc $k = 1$ : les deux quotients sont premiers entre eux.
C'est exactement pourquoi diviser par le PGCD donne une fraction irréductible du premier coup.