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1
Montre que la différence des carrés de deux entiers de même parité est divisible par 4.
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Soient $a$ et $b$ de même parité. Alors $a - b$ et $a + b$ sont tous deux pairs.
En effet, pair moins pair est pair, et impair moins impair est pair ; de même pour la somme.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ est donc le produit de deux nombres pairs, soit un multiple de 4.
Exemple : $7^2 - 3^2 = 40 = 4 \times 10$ .
2
Montre que $n^3 - n$ est divisible par 6 pour tout entier $n$ .
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On factorise : $n^3 - n = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$ .
C'est le produit de trois entiers consécutifs.
L'un au moins est pair, et exactement l'un est multiple de 3.
Le produit est donc divisible par 2 et par 3, qui sont premiers entre eux, donc par 6.
3
Un nombre de deux chiffres, auquel on ajoute le nombre obtenu en échangeant ses chiffres, donne-t-il toujours un multiple de 11 ?
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4
Montre que le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1 est toujours un carré parfait.
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5
Montre que si $n$ est impair, alors $n^2 - 1$ est divisible par 8.
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6
Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\frac{x+1}{x^2 - 9}$ n'existe-t-elle pas ?
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7
Montre que la somme de cinq entiers consécutifs est divisible par 5, et que celle de quatre entiers consécutifs ne l'est jamais par 4.
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8
Un élève écrit : « $x^2 > x$ pour tout nombre $x$ ». Trouve un contre-exemple, puis dis pour quelles valeurs c'est vrai.
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9
Montre que la somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, puis que la réciproque est fausse.
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10
Pourquoi les lettres permettent-elles de démontrer, alors que les nombres ne le permettent pas ?
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