La symétrie axiale

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1
Démontre que l'image d'un segment par une symétrie axiale est un segment de même longueur.
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Notons $A'$ et $B'$ les images de $A$ et $B$ , et $H$ , $K$ les pieds des perpendiculaires à l'axe issues de $A$ et de $B$ .
Les quadrilatères formés donnent $AH = HA'$ et $BK = KB'$ , avec $(AA')$ et $(BB')$ toutes deux perpendiculaires à l'axe, donc parallèles entre elles.
Le pliage selon l'axe amène $A$ sur $A'$ et $B$ sur $B'$ en conservant toutes les distances, donc $A'B' = AB$ : le segment image a bien la même longueur.
2
Une figure possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Démontre qu'elle possède un centre de symétrie.
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Notons $(d)$ et $(d')$ les deux axes et $O$ leur point d'intersection. Prenons un point $M$ de la figure, son symétrique $M_1$ par rapport à $(d)$ , puis le symétrique $M_2$ de $M_1$ par rapport à $(d')$ .
La figure étant invariante par chacune des deux symétries, $M_2$ appartient à la figure.
Or enchaîner deux symétries d'axes perpendiculaires revient à faire un demi-tour autour de leur point commun : $M_2$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ . Le point $O$ est donc un centre de symétrie de la figure.
3
Un point $A$ a pour symétrique $A'$ par rapport à $(d)$ , puis $A''$ est le symétrique de $A'$ par rapport à $(d')$ parallèle à $(d)$ . Détermine la distance $AA''$ en fonction de l'écart entre les deux axes.
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4
Un rayon lumineux se réfléchit sur un miroir plan. Explique le lien entre cette réflexion et la symétrie axiale.
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5
Donne le nombre d'axes de symétrie d'un polygone régulier à $n$ côtés, en distinguant les cas selon la parité de $n$ .
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6
Dans un trapèze isocèle, identifie l'axe de symétrie, puis déduis-en l'égalité de deux paires d'angles.
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7
Dans un repère, calcule les coordonnées du symétrique du point $M(3 ; 5)$ par rapport à l'axe des abscisses, puis par rapport à l'axe des ordonnées.
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8
Un berger part du point $A$ , doit atteindre une rivière rectiligne puis rejoindre $B$ , du même côté. Explique comment la symétrie axiale donne le chemin le plus court.
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9
Un triangle possède exactement un axe de symétrie, qui passe par le sommet $A$ . Démontre que ce triangle est isocèle en $A$ .
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10
Explique pourquoi l'enchaînement de deux symétries d'axes perpendiculaires donne une symétrie centrale.
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