Translation et rotation

🟠 Difficile

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1
Démontre que l'image d'une droite par une translation lui est parallèle.
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Prenons deux points $A$ et $B$ de la droite, et leurs images $A'$ et $B'$ par la translation.
Par définition, les segments $[AA']$ et $[BB']$ ont la même direction, le même sens et la même longueur : le quadrilatère $ABB'A'$ a donc deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme.
Or les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles : $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$ .
2
Une rotation de centre $O$ et d'angle 60° transforme $A$ en $A'$ . Donne la nature du triangle $OAA'$ .
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La rotation conserve les longueurs, donc $OA' = OA$ : le triangle $OAA'$ est isocèle en $O$ .
De plus l'angle $\widehat{AOA'}$ est l'angle de la rotation, soit 60°.
Il reste $180 - 60 = 120$ degrés pour les deux angles de la base, qui sont égaux : chacun vaut 60°. Les trois angles valent 60° : le triangle est équilatéral.
3
Un triangle équilatéral $ABC$ a pour centre $O$ . Donne les angles des rotations de centre $O$ qui le laissent inchangé.
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4
Un carré a pour centre $O$ . Donne les angles des rotations de centre $O$ qui le laissent inchangé.
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5
Explique pourquoi une rotation conserve les mesures d'angles mais modifie les directions.
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6
La translation qui transforme $A$ en $B$ est appliquée au point $B$ . Décris la position de l'image obtenue.
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7
Dans un repère, le point $M(1 ; 4)$ subit la translation qui envoie l'origine sur le point $(3 ; -2)$ . Calcule les coordonnées de son image.
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8
Une frise est obtenue en répétant un même motif le long d'une bande. Donne la transformation utilisée.
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9
Dans un repère d'origine $O$ , détermine l'image du point $M(2 ; 0)$ par la rotation de centre $O$ et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
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10
Explique pourquoi la translation et la rotation conservent le sens de parcours d'une figure.
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