Translation et rotation

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1
Démontre que l'enchaînement de deux translations est encore une translation.
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Plaçons-nous dans un repère : la première translation ajoute $(a ; b)$ aux coordonnées de chaque point, la seconde ajoute $(c ; d)$ .
Un point $M(x ; y)$ a donc pour image finale le point de coordonnées $(x + a + c ; y + b + d)$ .
Chaque point est donc déplacé de la même quantité $(a + c ; b + d)$ , indépendamment de sa position : c'est bien une translation, dont le glissement est la somme des deux précédents.
2
Démontre que l'enchaînement de deux rotations de même centre est une rotation de ce centre, dont l'angle est la somme des deux angles.
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Notons $O$ le centre commun, et $a$ puis $b$ les deux angles, comptés dans le même sens. Pour un point $M$ , la première rotation donne $M_1$ avec $OM_1 = OM$ et $\widehat{MOM_1} = a$ .
La seconde donne $M_2$ avec $OM_2 = OM_1 = OM$ et $\widehat{M_1OM_2} = b$ , dans le même sens, donc $\widehat{MOM_2} = a + b$ .
Tout point reste donc à la même distance de $O$ et tourne de $a + b$ : c'est la rotation de centre $O$ et d'angle $a + b$ .
3
Détermine la transformation obtenue en enchaînant la rotation de centre $O$ et d'angle $a$ , puis celle de centre $O$ et d'angle $a$ dans le sens opposé.
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4
Un hexagone régulier a pour centre $O$ . Détermine tous les angles des rotations de centre $O$ qui le laissent inchangé, puis leur nombre.
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5
Dans un repère, la rotation de centre l'origine et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre transforme $M(x ; y)$ en $M'$ . Exprime les coordonnées de $M'$ .
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6
Un pavage du plan est formé d'hexagones réguliers identiques. Cite deux transformations qui le laissent inchangé.
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7
Démontre qu'une rotation d'angle différent de 360° ne possède qu'un seul point invariant.
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8
Sur une grande roue de fête foraine, explique pourquoi les nacelles subissent une translation alors que la roue subit une rotation.
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9
Démontre que l'image d'un parallélogramme par une rotation est un parallélogramme.
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10
Sur une horloge, calcule l'angle de rotation de la petite aiguille entre 3 h et 5 h, puis celui de la grande aiguille sur la même durée.
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