Les fonctions

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1
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Factorise $f(x)$ , puis détermine ses racines et le signe de $f$ selon les valeurs de $x$ .
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Je cherche deux nombres de somme 4 et de produit 3 : ce sont 1 et 3.
Donc $f(x) = (x - 1)(x - 3)$ .
Les racines sont 1 et 3 (valeurs qui annulent $f$ ).
Pour le signe, j'étudie celui de chaque facteur.
Si $x \lt 1$ : les deux facteurs sont négatifs, donc $f(x) \gt 0$ .
Si $1 \lt x \lt 3$ : $x - 1$ est positif et $x - 3$ négatif, donc $f(x) \lt 0$ .
Si $x \gt 3$ : les deux sont positifs, donc $f(x) \gt 0$ .
Vérification avec $x = 2$ : $4 - 8 + 3 = -1$ , bien négatif. ✓
2
Une fonction affine $f$ vérifie $f(x + 1) - f(x) = 5$ pour tout $x$ , et $f(0) = -3$ . Détermine son expression.
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Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$ , calculons la différence demandée.
$f(x + 1) - f(x) = \big[a(x+1) + b\big] - \big[ax + b\big] = ax + a + b - ax - b = a$ .
Cette différence vaut donc toujours $a$ , quel que soit $x$ : ici $a = 5$ .
Et $f(0) = b = -3$ .
Donc $f(x) = 5x - 3$ .
Ce résultat éclaire le sens du coefficient directeur : c'est l'augmentation de l'image quand $x$ avance de 1.
3
Un fabricant vend $x$ objets. Sa recette est $R(x) = 30x$ et son coût $C(x) = 5x + 1\,250$ . Détermine le nombre d'objets à partir duquel il réalise un bénéfice.
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4
Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ pour $x \gt 0$ . Montre que cette fonction est décroissante sur les nombres strictement positifs.
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5
Une fonction affine $f$ vérifie $f(2) = 7$ . Sa représentation graphique est parallèle à celle de $g(x) = -4x + 1$ . Détermine $f$ .
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6
Soit $f(x) = 2x^2 - 8$ . Détermine les antécédents de 24.
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7
Le coût de production de $x$ pièces est $C(x) = 0{,}02x^2 + 10x + 500$ euros. Calcule le coût moyen par pièce pour 100 pièces, puis pour 500 pièces.
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8
Soit $f(x) = (x - 3)^2 + 2$ . Quelle est la plus petite valeur que peut prendre $f$ , et pour quel $x$ ?
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9
Deux fonctions affines $f$ et $g$ vérifient $f(0) = g(0) = 4$ , $f(2) = 10$ et $g(2) = -2$ . Déterminer leurs expressions, puis la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 3g(x)$ .
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10
Montre que, pour toute fonction affine $f$ , le point de coordonnées $\left( \dfrac{a + b}{2}\ ;\ \dfrac{f(a) + f(b)}{2} \right)$ appartient à la droite représentant $f$ .
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