Puissances et notation scientifique

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1
Montre que $\dfrac{2^{n+2} - 2^n}{2^n}$ est un nombre entier indépendant de $n$ , et donne sa valeur.
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Je factorise le numérateur par $2^n$ .
$2^{n+2} = 2^n \times 2^2 = 4 \times 2^n$ .
Donc le numérateur vaut $4 \times 2^n - 2^n = 2^n(4 - 1) = 3 \times 2^n$ .
L'expression devient $\frac{3 \times 2^n}{2^n} = 3$ .
Le résultat vaut 3, quel que soit $n$ : l'expression ne dépend pas de $n$ .
La clé est la factorisation : elle fait disparaître $2^n$ .
2
Combien de chiffres compte le nombre $2^{30}$ ? (Tu peux utiliser $2^{10} \approx 10^3$ .)
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$2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9$ .
Plus précisément, $2^{10} = 1\,024$ , donc $2^{30} = 1\,024^3$ , légèrement supérieur à $10^9$ .
Un nombre compris entre $10^9$ et $10^{10}$ compte 10 chiffres.
$2^{30} = 1\,073\,741\,824$ : il compte bien 10 chiffres.
Méthode générale : le nombre de chiffres d'un entier $N$ est la partie entière de $\log_{10} N$ , augmentée de 1.
3
La lumière parcourt $3 \times 10^8$ m en une seconde. Quelle distance parcourt-elle en une année ? (On prendra une année de 365 jours ; donne le résultat en notation scientifique, arrondi au dixième.)
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4
Par quel chiffre se termine $3^{100}$ ?
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5
Résous l'équation $2^x = 64$ , puis $3^{x+1} = 81$ .
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6
Un capital de 1 000 € est placé à 5 % par an. Écris avec une puissance le capital au bout de $n$ années, puis calcule-le pour $n = 10$ (arrondi au centime).
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7
Compare $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{100}$ et $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{70}$ sans calculatrice, en raisonnant sur les inverses.
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8
Écris $D = \dfrac{(2 \times 10^{-4})^3 \times (5 \times 10^{6})^2}{10^{-5}}$ en notation scientifique.
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9
Montre que la somme de deux puissances consécutives de 2 est toujours égale à une autre puissance de 2 multipliée par 3.
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10
Un grain de riz pèse environ 25 mg. On en place 1 sur la première case d'un échiquier, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant. Quelle masse de riz faudrait-il pour la 64ᵉ case seule ? (On prendra $2^{63} \approx 9{,}2 \times 10^{18}$ .)
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