Pythagore et la trigonométrie

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1
Dans un cube d'arête 6 cm, calcule la longueur de la grande diagonale (d'un sommet au sommet opposé), en valeur exacte.
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Je procède en DEUX applications de Pythagore.
D'abord la diagonale d'une face : $d^2 = 6^2 + 6^2 = 72$ , donc $d = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.
Ensuite la grande diagonale, hypoténuse d'un triangle rectangle formé par cette diagonale de face et une arête verticale :
$D^2 = (6\sqrt{2})^2 + 6^2 = 72 + 36 = 108$ .
Donc $D = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ cm, soit environ 10,4 cm.
Formule générale : la grande diagonale d'un cube d'arête $a$ vaut $a\sqrt{3}$ .
2
Montre que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des sinus et cosinus d'un même angle aigu vaut toujours 1.
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Soit un triangle rectangle d'hypoténuse $h$ , de côté opposé $o$ et de côté adjacent $a$ pour un angle donné.
$\sin = \frac{o}{h}$ et $\cos = \frac{a}{h}$ .
Donc $\sin^2 + \cos^2 = \frac{o^2}{h^2} + \frac{a^2}{h^2} = \frac{o^2 + a^2}{h^2}$ .
Or, d'après le théorème de Pythagore, $o^2 + a^2 = h^2$ .
Donc $\sin^2 + \cos^2 = \frac{h^2}{h^2} = 1$ .
La relation est démontrée : ce n'est rien d'autre que Pythagore écrit avec des quotients.
3
Un observateur situé à 50 m du pied d'un immeuble voit son sommet sous un angle de 38° et le sommet de l'antenne qui le surmonte sous un angle de 45°. Quelle est la hauteur de l'antenne, arrondie au dixième de mètre ?
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4
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 20 cm et un angle aigu 30°. Calcule l'aire du triangle, en valeur exacte.
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5
Un triangle a pour côtés $n$ , $n + 1$ et $n + 2$ , avec $n$ entier. Pour quelle valeur de $n$ est-il rectangle ?
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6
Une pyramide a une base carrée de 10 cm de côté et une hauteur de 12 cm. Calcule la longueur d'une arête latérale.
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7
Calcule la valeur exacte de $\cos(45°)$ en utilisant un triangle rectangle isocèle.
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8
Un triangle isocèle a une base de 10 cm et des côtés égaux de 13 cm. Calcule sa hauteur et son aire.
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9
Deux triangles rectangles ont la même hypoténuse de 10 cm. Le premier a un angle de 20°, le second de 70°. Que remarque-t-on sur leurs côtés ?
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10
Une piscine rectangulaire mesure 25 m sur 10 m. Un nageur traverse en diagonale. De combien de mètres son trajet est-il plus court que s'il longeait deux côtés ?
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