Symétries et transformations

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1
Montre qu'une symétrie centrale de centre $O$ est la même chose qu'une homothétie de centre $O$ et de rapport $-1$ .
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Dans la symétrie centrale de centre $O$ , l'image $M'$ d'un point $M$ vérifie : $O$ est le milieu de $[MM']$ .
Cela signifie que $M'$ est sur la droite $(OM)$ , de l'autre côté de $O$ , à la même distance.
Dans l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-1$ , l'image $M''$ vérifie $\overrightarrow{OM''} = -1 \times \overrightarrow{OM}$ : même droite, sens opposé, même longueur.
Les deux descriptions coïncident exactement : $M' = M''$ pour tout point $M$ .
Les deux transformations sont donc identiques.
C'est pour cela que l'homothétie de rapport $-1$ conserve les longueurs, contrairement aux autres homothéties.
2
Une figure possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Montre qu'elle possède nécessairement un centre de symétrie.
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J'appelle $(d)$ et $(d')$ les deux axes, et $O$ leur point d'intersection.
La figure est invariante par la symétrie d'axe $(d)$ , et aussi par celle d'axe $(d')$ .
Elle est donc invariante par leur composée.
Or, composer deux symétries d'axes perpendiculaires donne une rotation de $2 \times 90 = 180$ ° de centre $O$ , c'est-à-dire la symétrie centrale de centre $O$ .
La figure est donc invariante par cette symétrie centrale : $O$ est un centre de symétrie.
Exemples : le rectangle, le losange, l'ellipse.
3
Dans un repère, quelles sont les coordonnées de l'image du point $M(x\ ;\ y)$ par la symétrie d'axe la droite d'équation $y = x$ ?
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4
Une homothétie de rapport $k$ transforme un cube en un cube dont le volume est 27 fois plus grand. Que vaut $k$ ?
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5
Combien y a-t-il de façons de superposer un carré à lui-même par une rotation autour de son centre ? Précise les angles.
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6
Un triangle $ABC$ a pour image $A'B'C'$ par une translation. Que peut-on dire des quadrilatères $ABB'A'$ et $ACC'A'$ ?
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7
Une carte est reproduite deux fois de suite : d'abord par une homothétie de rapport 3, puis par une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$ (même centre). Quel est le rapport global, et que devient une aire de 8 cm² ?
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8
Pourquoi un texte lu dans un miroir apparaît-il inversé, alors qu'un texte vu après un demi-tour de la feuille ne l'est pas de la même façon ?
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9
Une figure est invariante à la fois par une translation non nulle et par une rotation d'angle 90°. Une telle figure peut-elle être bornée (tenir dans un cercle) ?
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10
Un terrain triangulaire est agrandi par une homothétie de rapport 1,2. Le périmètre augmente de 30 m. Quel était le périmètre initial ?
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