Thalès et les agrandissements

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1
Dans une configuration de Thalès, $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $MN = 6$ cm. Calcule $BC$ , sachant que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ .
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Le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ .
Je remplace : $\frac{4}{10} = \frac{6}{BC}$ .
Produit en croix : $4 \times BC = 10 \times 6 = 60$ .
Donc $BC = 15$ cm.
Contrôle : le rapport vaut 0,4 des deux côtés, $\frac{4}{10} = \frac{6}{15} = 0{,}4$ . ✓
2
Dans un triangle $ABC$ , $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ . On a $AM = 3$ , $AB = 7{,}5$ , $AN = 4$ et $AC = 10$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
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J'utilise la RÉCIPROQUE de Thalès : je calcule les deux rapports séparément.
$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4$ .
$\frac{AN}{AC} = \frac{4}{10} = 0{,}4$ .
Les deux rapports sont ÉGAUX, et les points sont placés dans le même ordre sur chaque demi-droite.
Donc $(MN)$ et $(BC)$ sont PARALLÈLES.
À retenir : on ne peut conclure au parallélisme que si les deux conditions sont réunies.
3
Mêmes données, mais $AN = 4$ et $AC = 11$ . Les droites sont-elles parallèles ?
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4
Un arbre projette une ombre de 9 m. Au même moment, un bâton de 1,50 m planté verticalement projette une ombre de 1,20 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
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5
Deux cubes sont semblables. Le premier a une arête de 4 cm, le second de 10 cm. Compare leurs aires totales et leurs volumes.
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6
Un cône de hauteur 15 cm est coupé par un plan parallèle à sa base, à 5 cm du sommet. Quel est le rapport entre le petit cône et le grand, et quelle fraction du volume représente-t-il ?
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7
Dans la configuration « papillon » : $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $O$ , avec $(AC)$ parallèle à $(BD)$ . On a $OA = 4$ , $OC = 6$ et $OB = 10$ . Calcule $OD$ .
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8
Une photo carrée de 10 cm de côté est agrandie de sorte que son aire soit multipliée par 2. Quel est le nouveau côté, arrondi au dixième ?
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9
Deux triangles semblables ont pour rapport $k = 0{,}6$ . Le plus grand a une aire de 50 cm². Quelle est l'aire du plus petit ?
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10
Sur une carte au $\frac{1}{25\,000}$ , une forêt occupe 8 cm². Quelle est sa surface réelle, en hectares ? (1 ha = 10 000 m²)
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