Thalès et les agrandissements

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1
Une maquette de bateau est à l'échelle $\frac{1}{20}$ . Elle pèse 3 kg. Sachant que les deux sont faits du même matériau, quelle est la masse du bateau réel, en tonnes ?
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À matériau identique, la masse est proportionnelle au VOLUME.
Les volumes sont dans le rapport $k^3 = 20^3 = 8\,000$ .
Masse réelle : $3 \times 8\,000 = 24\,000$ kg.
Je convertis : $24\,000$ kg $= 24$ tonnes.
Piège : multiplier par 20 donnerait 60 kg, soit 400 fois trop peu.
C'est aussi pourquoi les maquettes sont si légères par rapport à l'original.
2
Dans un triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ celui de $[AC]$ . Démontre que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ et que $MN = \frac{BC}{2}$ .
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Comme $M$ et $N$ sont les milieux : $\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$ .
Les deux rapports sont égaux, et les points sont placés dans le même ordre sur chaque demi-droite.
D'après la RÉCIPROQUE du théorème de Thalès, $(MN)$ est donc parallèle à $(BC)$ .
Le parallélisme étant acquis, Thalès s'applique et donne $\frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}$ , soit $MN = \frac{BC}{2}$ .
C'est le théorème dit « de la droite des milieux ».
3
Deux solides semblables ont des volumes de 54 cm³ et 128 cm³. Quel est le rapport de leurs longueurs ?
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4
Un cône plein de 18 cm de hauteur est rempli de sable. À quelle hauteur, mesurée depuis le sommet, faut-il couper pour que le petit cône contienne exactement la moitié du volume total ?
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5
Dans une configuration de Thalès, on sait que $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5}$ et que $MN = 8$ cm. Calcule $BC$ , puis le rapport des aires des triangles $AMN$ et $ABC$ .
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6
Le format A4 mesure 21 cm sur 29,7 cm. Montre que plier une feuille A4 en deux donne un rectangle semblable (format A5), et détermine le rapport.
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7
Deux triangles semblables ont des aires qui diffèrent de 96 cm². Le rapport de leurs longueurs vaut 3. Quelle est l'aire du plus petit ?
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8
Pourquoi une fourmi géante de la taille d'un éléphant ne pourrait-elle pas se tenir debout ? Réponds en utilisant les rapports d'agrandissement.
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9
Dans un trapèze $ABCD$ de bases $[AB]$ et $[CD]$ , les diagonales se coupent en $O$ . On a $AB = 6$ cm, $CD = 9$ cm et $OA = 4$ cm. Calcule $OC$ .
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10
Un cylindre est agrandi de sorte que son aire latérale double. De quel pourcentage son volume augmente-t-il, arrondi à l'unité ?
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