Pour aller plus loin : tableaux croisés et fréquences conditionnelles

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1
Une messagerie reçoit 2 000 e-mails dans la journée ; $15\,\%$ d'entre eux sont des spams. Le filtre de la messagerie marque comme spam $96\,\%$ des vrais spams et $2\,\%$ des e-mails normaux. Donne les pourcentages arrondis au dixième.
a) Calcule le nombre de spams et le nombre d'e-mails normaux.
b) Complète le tableau croisé (spam ou normal ; marqué ou non marqué par le filtre).
c) Parmi les e-mails marqués comme spam par le filtre, quelle est la fréquence des vrais spams ?
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a) Spams : $0{,}15 \times 2000 = 300$  ; e-mails normaux : $2000 - 300 = 1700$ .
b) Spams marqués : $0{,}96 \times 300 = 288$ , non marqués : 12.
Normaux marqués : $0{,}02 \times 1700 = 34$ , non marqués : 1 666.
Marqués : $288 + 34 = 322$  ; non marqués : $12 + 1666 = 1678$ .
c) Le groupe de référence est celui des e-mails marqués : 322.
$\frac{288}{322} \approx 0{,}8944$ .
Environ $89{,}4\,\%$ des e-mails marqués comme spam sont de vrais spams.
2
Un hôpital compare deux traitements. Traitement A : 80 cas légers, dont 72 guérisons, et 20 cas graves, dont 8 guérisons. Traitement B : 20 cas légers, dont 19 guérisons, et 80 cas graves, dont 40 guérisons.
a) Calcule la fréquence globale de guérison de chaque traitement.
b) Calcule la fréquence de guérison de chaque traitement parmi les cas légers, puis parmi les cas graves.
c) Quel traitement conseillerais-tu à un patient dont on connaît la gravité de l'état ? Justifie par des fréquences.
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a) Traitement A : $\frac{72 + 8}{100} = 0{,}8$ , soit $80\,\%$ . Traitement B : $\frac{19 + 40}{100} = 0{,}59$ , soit $59\,\%$ .
Globalement, A semble meilleur.
b) Cas légers : A guérit $\frac{72}{80} = 90\,\%$ , B guérit $\frac{19}{20} = 95\,\%$ .
Cas graves : A guérit $\frac{8}{20} = 40\,\%$ , B guérit $\frac{40}{80} = 50\,\%$ .
c) Dans chaque catégorie, B fait mieux que A : c'est le traitement B qu'il faut conseiller, que le cas soit léger ou grave.
Le taux global de B est plus faible uniquement parce que B a surtout été donné à des cas graves : c'est le paradoxe de Simpson.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un lycée compte 1 200 élèves, dont $35\,\%$ en voie technologique. $60\,\%$ des élèves de la voie technologique et $45\,\%$ des autres élèves ont un job d'été. Donne les pourcentages arrondis au dixième.
a) Calcule le nombre d'élèves de chaque voie ayant un job d'été.
b) Complète le tableau croisé (voie technologique ou non ; job d'été ou non).
c) Quelle est la fréquence des élèves de la voie technologique parmi ceux qui ont un job d'été ?
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4
Une enquête porte sur 2 500 trajets à vélo : 1 500 trajets courts (moins de 5 km) et 1 000 trajets longs. On relève 30 accidents sur les trajets courts et 30 sur les trajets longs. Un titre de presse affirme : « autant d'accidents sur les trajets courts que sur les longs : la distance ne change pas le risque d'accident ».
a) Calcule la fréquence des accidents parmi les trajets courts, puis parmi les trajets longs.
b) Calcule la fréquence des trajets courts parmi les trajets accidentés.
c) Le titre « la distance ne change pas le risque d'accident » est-il justifié ? Appuie ta réponse sur des fréquences.
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5
Un opérateur compte 600 abonnés répartis en trois formules : basique ( $50\,\%$ des abonnés), confort ( $30\,\%$ ) et premium ( $20\,\%$ ). Dans l'année, $12\,\%$ des abonnés basique, $10\,\%$ des abonnés confort et $5\,\%$ des abonnés premium ont résilié.
a) Calcule le nombre d'abonnés et le nombre de résiliations dans chaque formule.
b) Calcule la fréquence marginale des résiliations.
c) Parmi les abonnés qui ont résilié, quelle est la fréquence de ceux qui avaient la formule basique ?
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6
Une entreprise compte 450 salariés : 180 ont des enfants et 270 n'en ont pas. Au total, 189 salariés télétravaillent, dont 72 ont des enfants. La direction affirme que la fréquence du télétravail est la même chez les salariés avec enfants et chez les salariés sans enfants. Donne les pourcentages arrondis au dixième.
a) Calcule la fréquence du télétravail parmi les salariés avec enfants.
b) Calcule le nombre de télétravailleurs sans enfants, puis la fréquence du télétravail parmi les salariés sans enfants.
c) L'affirmation de la direction est-elle exacte ?
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7
Une étude sur 800 personnes répartit la population en trois classes d'âge : 200 personnes de 15 à 24 ans, 350 de 25 à 49 ans et 250 de 50 ans et plus. Un réseau social est utilisé chaque jour par $90\,\%$ des 15-24 ans, $60\,\%$ des 25-49 ans et $24\,\%$ des 50 ans et plus.
a) Calcule le nombre d'utilisateurs quotidiens dans chaque classe d'âge.
b) Calcule la fréquence marginale des utilisateurs quotidiens.
c) Un journal écrit : « les 15-24 ans représentent $90\,\%$ des utilisateurs quotidiens ». Est-ce exact ? Justifie par un calcul.
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8
Un site marchand a reçu 1 000 visiteurs ; $30\,\%$ d'entre eux ont acheté. Parmi les acheteurs, $70\,\%$ sont arrivés par une publicité ; parmi les non-acheteurs, $40\,\%$ sont arrivés par une publicité. Donne les pourcentages arrondis au dixième.
a) Complète le tableau croisé (acheteur ou non ; arrivé par une publicité ou non).
b) Parmi les visiteurs arrivés par une publicité, quelle est la fréquence des acheteurs ? Et parmi les visiteurs arrivés autrement ?
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9
Une commune compte 3 200 habitants, dont $45\,\%$ sont propriétaires de leur logement et les autres locataires. $60\,\%$ des propriétaires et $25\,\%$ des locataires ont plus de 50 ans. Donne les pourcentages arrondis au dixième.
a) Calcule le nombre de propriétaires et de locataires, puis le nombre d'habitants de plus de 50 ans dans chaque groupe.
b) Calcule la fréquence marginale des habitants de plus de 50 ans.
c) Parmi les habitants de plus de 50 ans, quelle est la fréquence des propriétaires ?
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10
Dans un lycée de 400 élèves, 160 font de la musique. La fréquence de pratique sportive est de $50\,\%$ parmi les musiciens et de $75\,\%$ parmi les non-musiciens. Donne les pourcentages arrondis au dixième.
a) Calcule le nombre d'élèves sportifs parmi les musiciens, puis parmi les non-musiciens.
b) Calcule la fréquence marginale des élèves sportifs.
c) Parmi les élèves qui ne font pas de sport, quelle est la fréquence des musiciens ?
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