Échantillonnage

🟠 Difficile

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1
Un fabricant affirme que $25\,\%$ de ses boîtes contiennent un cadeau. Sur 400 boîtes, on en trouve 84. Peut-on rejeter son affirmation au seuil de $95\,\%$ ?
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Sous l'hypothèse $p = 0{,}25$ : conditions vérifiées, $\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$ , donc $I = [0{,}20 \,;\, 0{,}30]$ .
$f = \frac{84}{400} = 0{,}21$ , qui appartient à $I$ .
Non : on ne peut pas rejeter l'affirmation du fabricant.
2
Deux sondages donnent $f = 0{,}52$ , l'un sur 100 personnes, l'autre sur 2500. Compare la précision des deux estimations.
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Pour $n = 100$ : amplitude $\frac{2}{10} = 0{,}2$ , soit $[0{,}42 \,;\, 0{,}62]$ .
Pour $n = 2500$ : amplitude $\frac{2}{50} = 0{,}04$ , soit $[0{,}50 \,;\, 0{,}54]$ .
Le second est cinq fois plus précis, pour la même fréquence annoncée.
3
Une pièce est lancée 900 fois et donne 480 piles. Peut-on affirmer au seuil de $95\,\%$ qu'elle est truquée ?
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4
Explique pourquoi une fréquence hors de l'intervalle de fluctuation ne prouve pas que l'hypothèse est fausse.
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5
On veut diviser par 3 l'amplitude d'un intervalle d'estimation. Par combien multiplier la taille de l'échantillon ?
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6
Deux instituts publient le même jour : $48\,\%$ sur 400 personnes, et $53\,\%$ sur 400 personnes. Les journaux titrent « les instituts se contredisent ». Ont-ils raison ?
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7
Un institut facture 2 € par personne interrogée. Combien coûtent un sondage d'amplitude $0{,}08$ , puis un d'amplitude $0{,}04$ ?
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8
Sur 1000 simulations d'un échantillon de taille 200 avec $p = 0{,}3$ , combien de fréquences sortiront environ de l'intervalle de fluctuation ?
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9
Pourquoi la formule échoue-t-elle quand $p$ est très proche de 0 ?
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10
Un contrôle qualité annonce $p = 0{,}2$ . Sur 100 pièces, on en trouve 11 conformes au haut de gamme. Que peut répondre le client ?
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